9. Пусть α, β, γ — углы треугольника. Оказалось, что sin² α + sin² β = sin² γ. Чему равен больший угол этого треугольника?

Поскольку α + β = π − γ, то sin γ = sin(α + β). Подставим это в условие:

sin² α + sin² β = sin²(α + β).

Раскроем квадрат суммы синусов:

sin² α + sin² β = sin² α cos² β + cos² α sin² β + 2 sin α cos α sin β cos β.

После сокращения одинаковых слагаемых получаем:

0 = 2 sin α sin β (cos α cos β − sin α sin β) = 2 sin α sin β cos(α + β).

Углы α и β положительны, значит sin α sin β ≠ 0, поэтому cos(α + β) = 0. Так как 0 < α + β < π, имеем α + β = π/2, следовательно, γ = π/2.

Два оставшихся угла положительны и в сумме равны 90°, поэтому каждый меньше 90°.

Ответ: больший угол равен 90°.