9. Решите неравенство logx+2(x - 4)2 ≤ 1.

Решение неравенства:

Нам нужно решить неравенство logx+2(x - 4)2 ≤ 1.

1. Область допустимых значений (ОДЗ):

• Основание логарифма должно быть положительным и не равным 1: x + 2 > 0 и x + 2 ≠ 1. Из этого следует x > -2 и x ≠ -1.
• Аргумент логарифма должен быть строго положительным: (x - 4)2 > 0. Это верно для всех x, кроме x = 4.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: x ∈ (-2; -1) ∪ (-1; 4) ∪ (4; +∞).

2. Решение неравенства:

Рассмотрим два случая в зависимости от основания логарифма x + 2.

Случай 1: Основание больше 1 (x + 2 > 1, т.е. x > -1).

В этом случае при переходе от логарифма к степени знак неравенства сохраняется:

• (x - 4)2 ≤ (x + 2)1
• x2 - 8x + 16 ≤ x + 2
• x2 - 9x + 14 ≤ 0

Найдем корни квадратного уравнения x2 - 9x + 14 = 0:

D = (-9)2 - 4 * 1 * 14 = 81 - 56 = 25

x1 = (9 - 5) / 2 = 2

x2 = (9 + 5) / 2 = 7

Парабола y = x2 - 9x + 14 направлена ветвями вверх, поэтому неравенство x2 - 9x + 14 ≤ 0 выполняется при x ∈ [2; 7].

Учитывая условие случая x > -1 и ОДЗ, получаем пересечение: x ∈ [2; 7].

Случай 2: Основание от 0 до 1 (0 < x + 2 < 1, т.е. -2 < x < -1).

В этом случае при переходе от логарифма к степени знак неравенства меняется на противоположный:

• (x - 4)2 ≥ (x + 2)1
• x2 - 8x + 16 ≥ x + 2
• x2 - 9x + 14 ≥ 0

Из предыдущего шага мы знаем, что это неравенство выполняется при x ∈ (-∞; 2] ∪ [7; +∞).

Учитывая условие случая -2 < x < -1 и ОДЗ, получаем пересечение: x ∈ (-2; -1).

3. Объединение решений:

Объединяем решения из обоих случаев:

• x ∈ [2; 7] (из случая 1)
• x ∈ (-2; -1) (из случая 2)

Окончательный ответ: x ∈ (-2; -1) ∪ [2; 7].

Ответ: x ∈ (-2; -1) ∪ [2; 7].