9. Решите уравнение 3^2y-1+3^2y-2-3^2y-4=315

Предмет: Алгебра

Класс: 9-11

Тема: Показательные уравнения

Решение:

1. Вынесение общего множителя за скобки:

   Для начала, вынесем общий множитель 3^2y-4 за скобки.

   Исходное уравнение:

   \[ 3^{2y-1} + 3^{2y-2} - 3^{2y-4} = 315 \]

   Перепишем степени так, чтобы выделить общий множитель:

   \[ 3^{2y-4} \cdot 3^3 + 3^{2y-4} \cdot 3^2 - 3^{2y-4} \cdot 1 = 315 \]

   Теперь выносим 3^2y-4:

   \[ 3^{2y-4} (3^3 + 3^2 - 1) = 315 \]

2. Вычисление в скобках:

   Вычислим значение выражения в скобках:

   \[ 3^3 = 27 \]

   \[ 3^2 = 9 \]

   \[ 27 + 9 - 1 = 36 - 1 = 35 \]

   Подставляем полученное значение обратно в уравнение:

   \[ 3^{2y-4} \cdot 35 = 315 \]

3. Нахождение степени:

   Разделим обе части уравнения на 35:

   \[ 3^{2y-4} = \frac{315}{35} \]

   \[ 3^{2y-4} = 9 \]

   Представим 9 как степень тройки:

   \[ 9 = 3^2 \]

   Теперь уравнение выглядит так:

   \[ 3^{2y-4} = 3^2 \]

4. Решение линейного уравнения:

   Так как основания степеней равны, приравниваем показатели:

   \[ 2y - 4 = 2 \]

   Решаем полученное линейное уравнение:

   \[ 2y = 2 + 4 \]

   \[ 2y = 6 \]

   \[ y = \frac{6}{2} \]

   \[ y = 3 \]

Проверка:

Подставим y = 3 в исходное уравнение:

\[ 3^{2(3)-1} + 3^{2(3)-2} - 3^{2(3)-4} = 3^{6-1} + 3^{6-2} - 3^{6-4} = 3^5 + 3^4 - 3^2 \]

\[ 3^5 = 243 \]

\[ 3^4 = 81 \]

\[ 3^2 = 9 \]

\[ 243 + 81 - 9 = 324 - 9 = 315 \]

Результат совпадает с правой частью уравнения.

Ответ:

y = 3