9. Решите уравнение x + 5/x = 6. В ответ запишите сумму корней уравнения.

Задание 9. Решение уравнения

У нас есть уравнение: \( x + \frac{5}{x} = 6 \).

Чтобы решить это уравнение, сначала нужно избавиться от дроби. Для этого умножим обе части уравнения на \( x \), при условии, что \( x \) не равен нулю:

\[ x \cdot \left( x + \frac{5}{x} \right) = 6 \cdot x \]

Раскроем скобки:

\[ x^2 + 5 = 6x \]

Теперь перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 - 6x + 5 = 0 \]

Для решения этого квадратного уравнения найдём дискриминант (D) по формуле \( D = b^2 - 4ac \), где \( a=1 \), \( b=-6 \), \( c=5 \):

\[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16 \]

Так как \( D > 0 \), у нас будет два корня. Найдем их по формуле \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \):

\( x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)

\( x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

Корни уравнения: \( x_1 = 5 \) и \( x_2 = 1 \). Оба значения не равны нулю, поэтому подходят.

Нам нужно найти сумму корней:

\[ x_1 + x_2 = 5 + 1 = 6 \]

Ответ: 6