9. Решите задачу. Было 53 яблока. После того, как каждое разрезали пополам — стало 136 половинок. В какой системе счисления вёлся счёт? Приведите краткую запись и решение.

Краткая запись: яблок — 53, половинок — 136 (числа записаны в одной и той же системе счисления). Найти основание системы счисления.

После разрезания каждого яблока число половинок вдвое больше числа яблок. Пусть основание системы счисления равно b. Тогда 53 в этой системе обозначает 5b + 3, а 136 — b² + 3b + 6.

Составим уравнение: 2(5b + 3) = b² + 3b + 6.

После упрощения: b² − 7b = 0, откуда b(b − 7) = 0. Основание не может быть нулём, поэтому b = 7. Цифра 6 в записи допустима в системе с основанием 7.

Ответ: счёт вёлся в семеричной системе счисления.