9. Середина A стороны NC выпуклого четырёхугольника NKZC равноудалена от всех его вершин. Найдите NC, если KZ = 43, а углы K и Z четырёхугольника равны соответственно 133° и 107°.

Так как A — середина NC и равноудалена от всех вершин, точки N, K, Z и C лежат на окружности с центром A. Поэтому NC — диаметр.

1. Угол NKZ равен 133° и опирается на дугу NZ, не содержащую K. Эта дуга состоит из полуокружности NC и дуги CZ, значит дуга CZ равна \(2\cdot133^\circ-180^\circ=86^\circ\).
2. Угол KZC равен 107° и опирается на дугу KC, не содержащую Z. Она состоит из дуги KN и полуокружности NC, поэтому дуга KN равна \(2\cdot107^\circ-180^\circ=34^\circ\).
3. На полуокружности от N до C через K и Z дуга KZ равна \(180^\circ-34^\circ-86^\circ=60^\circ\). Тогда хорда \(KZ=NC\cdot\sin(60^\circ/2)=NC/2\).
4. Следовательно, \(NC=2\cdot43=86\).

Ответ: 86.