9. Сформулируйте правила умножения и деления дробей. Выполните умножение или деление дробей: a) x² - a²/ax³ · ax²/x+a б) (y² – 4) · 3/(y+2)² в) a²-2ab/6b² : a-2b/3b г) c²-9c+9/7c : (3c-9)

Правила умножения и деления дробей

Умножение дробей: Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели. Знаменатель первой дроби умножаем на числитель второй.

Деление дробей: Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (то есть числитель и знаменатель второй дроби поменять местами).

Решение примеров:

а) Умножение дробей

Задание: \[ \frac{x^2 - a^2}{ax^3} \cdot \frac{ax^2}{x+a} \]

Решение:

1. Разложим числитель первой дроби на множители (разность квадратов): \( x^2 - a^2 = (x-a)(x+a) \).
2. Сократим общие множители в числителе и знаменателе: \( \frac{(x-a)(x+a)}{ax^3} \cdot \frac{ax^2}{x+a} \).
3. Сокращаем \( (x+a) \) и \( ax^2 \) (из \( ax^3 \) остается \( x \)): \[ \frac{x-a}{x} \cdot \frac{1}{1} \]
4. Результат: \[ \frac{x-a}{x} \]

Ответ: \( \frac{x-a}{x} \).

б) Умножение дробей

Задание: \[ (y^2 - 4) \cdot \frac{3}{(y+2)^2} \]

Решение:

1. Представим \( (y^2 - 4) \) как дробь \( \frac{y^2 - 4}{1} \).
2. Разложим числитель первой дроби на множители (разность квадратов): \( y^2 - 4 = (y-2)(y+2) \).
3. Подставим разложенное выражение в дробь: \[ \frac{(y-2)(y+2)}{1} \cdot \frac{3}{(y+2)^2} \]
4. Сократим \( (y+2) \) (из \( (y+2)^2 \) останется \( y+2 \)): \[ \frac{y-2}{1} \cdot \frac{3}{y+2} \]
5. Перемножим оставшиеся множители: \[ \frac{3(y-2)}{y+2} \]

Ответ: \( \frac{3(y-2)}{y+2} \).

в) Деление дробей

Задание: \[ \frac{a^2 - 2ab}{6b^2} : \frac{a-2b}{3b} \]

Решение:

1. Представим деление как умножение на обратную дробь: \[ \frac{a^2 - 2ab}{6b^2} \cdot \frac{3b}{a-2b} \]
2. Разложим числитель первой дроби на множители: \( a^2 - 2ab = a(a-2b) \).
3. Подставим разложенное выражение: \[ \frac{a(a-2b)}{6b^2} \cdot \frac{3b}{a-2b} \]
4. Сократим общие множители \( (a-2b) \) и \( b \) (из \( 6b^2 \) останется \( 2b \), а \( 3 \) сократится с \( 6 \) до \( 2 \)): \[ \frac{a}{2b} \cdot \frac{1}{1} \]
5. Результат: \[ \frac{a}{2b} \]

Ответ: \( \frac{a}{2b} \).

г) Деление дробей

Задание: \[ \frac{c^2 - 9c + 9}{7c} : (3c - 9) \]

Решение:

1. Представим \( (3c - 9) \) как дробь \( \frac{3c-9}{1} \).
2. Теперь деление выглядит так: \[ \frac{c^2 - 9c + 9}{7c} : \frac{3c-9}{1} \]
3. Заменим деление умножением на обратную дробь: \[ \frac{c^2 - 9c + 9}{7c} \cdot \frac{1}{3c-9} \]
4. Разложим знаменатель второй дроби на множители: \( 3c - 9 = 3(c-3) \).
5. Подставим разложенное выражение: \[ \frac{c^2 - 9c + 9}{7c} \cdot \frac{1}{3(c-3)} \]
6. Перемножим дроби: \[ \frac{c^2 - 9c + 9}{21c(c-3)} \]

Примечание: Числитель \( c^2 - 9c + 9 \) не раскладывается на простые множители с целыми коэффициентами.

Ответ: \( \frac{c^2 - 9c + 9}{21c(c-3)} \).