9) Solve the equation: (x+5)/(x+9) = (x+2)/5

Решение:

1. Крест-накрест: Умножаем числитель первой дроби на знаменатель второй и приравниваем к произведению знаменателя первой на числитель второй:
• \[ 5(x+5) = (x+9)(x+2) \]
2. Раскрываем скобки:
• \[ 5x + 25 = x^2 + 2x + 9x + 18 \]
• \[ 5x + 25 = x^2 + 11x + 18 \]
3. Переносим все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
• \[ x^2 + 11x - 5x + 18 - 25 = 0 \]
• \[ x^2 + 6x - 7 = 0 \]
4. Решаем квадратное уравнение (через дискриминант или теорему Виета):
• Через теорему Виета:
• \[ x_1 + x_2 = -6 \]
• \[ x_1 \cdot x_2 = -7 \]
• Корни: x_1 = 1, x_2 = -7
5. Проверка (необязательно, но рекомендуется):
• При x=1: (1+5)/(1+9) = 6/10 = 3/5. (1+2)/5 = 3/5. Верно.
• При x=-7: (-7+5)/(-7+9) = -2/2 = -1. (-7+2)/5 = -5/5 = -1. Верно.

Ответ: x = 1, x = -7