9. (Т) Точка М, лежащая вне круга с диаметром АВ, соединена с точками А и В. Отре MA и МВ пересекают окружность в точках С и D, соответственно. Площадь круга, вписанного в треугольник АМВ, в 4 раза больше, чем площадь круга, вписанного в треугольник CMD. Найти меры углов треугольника АМВ, если известно, что один из углов в 2 раза больше другого.

Решение:

Пусть \( \angle MAB = \alpha \) и \( \angle MBA = \beta \). По условию, один из углов в 2 раза больше другого. Возможны два случая:

1. \( \alpha = 2\beta \)
2. \( \beta = 2\alpha \)

Так как \( AB \) — диаметр окружности, то \( \angle ACB = \angle ADB = 90^{\circ} \) (угол, опирающийся на диаметр, прямой).

Треугольники \( \triangle AMB \) и \( \triangle CMD \) подобны по двум углам: \( \angle AMB = \angle CMD \) (общий угол) и \( \angle MAB = \angle MCD \) (углы, опирающиеся на дугу \( BD \) окружности, если \( CD \) — хорда), или \( \angle MBA = \angle MDC \) (углы, опирающиеся на дугу \( AC \)).

Из подобия \( \triangle AMB \sim \triangle CMD \) следует, что отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия. Пусть \( k \) — коэффициент подобия от \( \triangle CMD \) к \( \triangle AMB \). Тогда \( k = \frac{AB}{CD} \).

Площадь вписанного круга в треугольник пропорциональна его площади. Пусть \( r_1 \) — радиус круга, вписанного в \( \triangle AMB \), и \( r_2 \) — радиус круга, вписанного в \( \triangle CMD \). Тогда \( S_{r_1} = \pi r_1^2 \) и \( S_{r_2} = \pi r_2^2 \). По условию, \( S_{r_1} = 4 S_{r_2} \), следовательно, \( \pi r_1^2 = 4 \pi r_2^2 \), откуда \( r_1 = 2 r_2 \).

Радиус вписанной окружности в прямоугольном треугольнике выражается как \( r = \frac{a+b-c}{2} \), где \( a, b \) — катеты, \( c \) — гипотенуза.

В \( \triangle AMB \): \( r_1 = \frac{MA + MB - AB}{2} \).

В \( \triangle CMD \): \( r_2 = \frac{MC + MD - CD}{2} \).

Из подобия \( \triangle AMB \sim \triangle CMD \) следует, что \( \frac{MA}{MC} = \frac{MB}{MD} = \frac{AB}{CD} = k \). Тогда \( MA = k · MC \) и \( MB = k · MD \).

\( r_1 = \frac{k · MC + k · MD - k · CD}{2} = k · \frac{MC + MD - CD}{2} = k · r_2 \).

Так как \( r_1 = 2 r_2 \) и \( r_1 = k · r_2 \), то \( k = 2 \). Значит, \( \frac{AB}{CD} = 2 \) или \( AB = 2 CD \).

В \( \triangle AMB \), \( AB \) — гипотенуза. В \( \triangle CMD \), \( CD \) — гипотенуза.

В прямоугольном \( \triangle ACB \), \( MC = AC · · · \).

Рассмотрим \( \triangle AMB \). Углы \( \angle MAB = \alpha \) и \( \angle MBA = \beta \). \( \alpha + \beta = 90^{\circ} \) (так как \( \angle ACB = 90^{\circ} \)).

Случай 1: \( \alpha = 2\beta \).

\( 2\beta + \beta = 90^{\circ} \) \( \Rightarrow 3\beta = 90^{\circ} \) \( \Rightarrow \beta = 30^{\circ} \).

\( \alpha = 2 · 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

Углы \( \triangle AMB \) равны \( 30^{\circ}, 60^{\circ}, 90^{\circ} \).

Случай 2: \( \beta = 2\alpha \).

\( \alpha + 2\alpha = 90^{\circ} \) \( \Rightarrow 3\alpha = 90^{\circ} \) \( \Rightarrow \alpha = 30^{\circ} \).

\( \beta = 2 · 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

Углы \( \triangle AMB \) равны \( 30^{\circ}, 60^{\circ}, 90^{\circ} \).

В обоих случаях углы треугольника \( AMB \) составляют \( 30^{\circ}, 60^{\circ}, 90^{\circ} \).

Ответ: меры углов треугольника \( AMB \) равны \( 30^{\circ}, 60^{\circ}, 90^{\circ} \).