9. (Т) В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АВ проведена полуокружность радиусом 2, центр которой лежит на стороне АС и которая касается сторон АВ и ВС. Полуокружность радиусом 1 касается этой полуокружности и стороны АВ, а центр также лежит на стороне АС. Найти длины сторон треугольника.

Решение:

Обозначим центр первой полуокружности радиусом \( R=2 \) как \( O_1 \) и центр второй полуокружности радиусом \( r=1 \) как \( O_2 \). Обе точки лежат на катете \( AC \).

Так как полуокружность радиусом 2 касается сторон \( AB \) и \( BC \), то \( AC \) является биссектрисой угла \( C \) (что верно, так как \( \angle C = 90^{\circ} \)), и \( AC \) тоже является биссектрисой угла \( A \) или \( B \) в зависимости от того, как расположена полуокружность. Однако, в условии сказано, что центр \( O_1 \) лежит на \( AC \) и полуокружность касается \( AB \) и \( BC \). Если \( AC \) — катет, то \( \angle C = 90^{\circ} \). Полуокружность с центром на \( AC \) и касающаяся \( BC \) означает, что \( BC \) является касательной. Если она также касается \( AB \), то \( AC \) должна быть биссектрисой угла \( B \), что невозможно, так как \( \angle C = 90^{\circ} \).

Перечитаем условие: «В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АВ проведена полуокружность радиусом 2, центр которой лежит на стороне АС и которая касается сторон АВ и ВС». Это означает, что \( AC \) — катет, \( BC \) — другой катет, \( AB \) — гипотенуза. Угол \( C \) равен \( 90^{\circ} \). Полуокружность с центром \( O_1 \) на \( AC \) и радиусом \( R=2 \) касается \( AB \) и \( BC \).

Положение центра \( O_1 \) на \( AC \) и касание \( BC \) означает, что расстояние от \( O_1 \) до \( BC \) равно \( R=2 \). Так как \( O_1 \) лежит на \( AC \), то \( O_1C = 2 \) (если \( C \) — начало отсчета на \( AC \)).

Расстояние от \( O_1 \) до \( AB \) также равно \( R=2 \). Пусть \( K \) — точка касания \( O_1 \) на \( AB \). Тогда \( O_1K \) перпендикулярно \( AB \) и \( O_1K = 2 \).

Рассмотрим \( \triangle ABC \). Пусть \( \angle BAC = \alpha \). Тогда \( \angle ABC = 90^{\circ} - \alpha \).

Центр \( O_1 \) лежит на \( AC \). Расстояние от \( O_1 \) до \( BC \) равно 2. Если \( C \) — начало координат (0,0), \( A \) лежит на оси y, \( B \) — на оси x. То \( C = (0,0), B = (b, 0), A = (0, a) \). \( O_1 \) лежит на \( AC \), то есть на оси y. \( O_1 = (0, y_{O1}) \). Касание \( BC \) (оси x) означает, что \( y_{O1} = 2 \). Значит, \( O_1 = (0, 2) \). Так как \( O_1 \) на \( AC \), то \( A = (0, a) \) где \( a > 2 \). \( O_1C = 2 \).

Теперь про вторую полуокружность. Радиус \( r=1 \), центр \( O_2 \) лежит на \( AC \). Она касается первой полуокружности и стороны \( AB \).

Так как \( O_2 \) на \( AC \) и она касается \( AB \), то расстояние от \( O_2 \) до \( AB \) равно \( r=1 \). Пусть \( O_2 = (0, y_{O2}) \). Расстояние от \( O_2 \) до \( AB \) равно 1.

Центры \( O_1 \) и \( O_2 \) лежат на \( AC \). Расстояние между центрами \( O_1O_2 \) равно \( |y_{O1} - y_{O2}| \). Так как вторая полуокружность касается первой, то \( O_1O_2 = R + r = 2 + 1 = 3 \).

Пусть \( O_1 \) ближе к \( C \). Тогда \( O_1 = (0, 2) \). \( O_2 = (0, 2+3) = (0, 5) \) или \( O_2 = (0, 2-3) = (0, -1) \). Так как \( O_2 \) на \( AC \), то \( y_{O2} > 0 \). Значит, \( O_2 = (0, 5) \) (если \( C \) — начало координат). Тогда \( AC \) имеет длину \( a > 5 \).

Расстояние от \( O_1(0, 2) \) до \( AB \) равно 2. Уравнение прямой \( AB \): \( \frac{x}{b} + \frac{y}{a} = 1 \) или \( ax + by - ab = 0 \). Расстояние от \( O_1(0, 2) \) до \( AB \) равно \( \frac{|a \cdot 0 + b \cdot 2 - ab|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = 2 \).

\( \frac{|2b - ab|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = 2 \)

\( |b(2 - a)| = 2 \sqrt{a^2 + b^2} \)

Так как \( a \) — длина катета, \( a > 0 \). \( b \) — длина катета, \( b > 0 \). \( O_1 \) лежит на \( AC \), \( O_1C = 2 \). \( A = (0, a) \), \( O_1 = (0, 2) \), значит \( a > 2 \).

\( |2b - ab| = b|2 - a| = b(a - 2) \) так как \( a > 2 \).

\( b(a - 2) = 2 \sqrt{a^2 + b^2} \)

Возведём в квадрат: \( b^2(a - 2)^2 = 4(a^2 + b^2) \)

\( b^2(a^2 - 4a + 4) = 4a^2 + 4b^2 \)

\( b^2 a^2 - 4ab^2 + 4b^2 = 4a^2 + 4b^2 \)

\( b^2 a^2 - 4ab^2 = 4a^2 \)

Разделим на \( a^2 \) (так как \( a > 2 \)): \( b^2 - \frac{4b^2}{a} = 4 \).

Теперь учтём вторую полуокружность. Центр \( O_2 = (0, 5) \) (если \( O_1=(0,2) \)). Расстояние от \( O_2 \) до \( AB \) равно 1.

\( \frac{|a \cdot 0 + b · 5 - ab|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = 1 \)

\( |5b - ab| = \sqrt{a^2 + b^2} \)

\( |b(5 - a)| = \sqrt{a^2 + b^2} \)

Если \( a > 5 \), то \( |b(5 - a)| = b(a - 5) \).

\( b(a - 5) = \sqrt{a^2 + b^2} \)

Возведём в квадрат: \( b^2(a - 5)^2 = a^2 + b^2 \)

\( b^2(a^2 - 10a + 25) = a^2 + b^2 \)

\( b^2 a^2 - 10ab^2 + 25b^2 = a^2 + b^2 \)

\( b^2 a^2 - 10ab^2 + 24b^2 = a^2 \)

Разделим на \( a^2 \): \( b^2 - \frac{10b^2}{a} + \frac{24b^2}{a^2} = 1 \).

У нас есть система уравнений:

1. \( b^2 - \frac{4b^2}{a} = 4 \)
2. \( b^2 - \frac{10b^2}{a} + \frac{24b^2}{a^2} = 1 \)

Из первого уравнения: \( b^2 (1 - \frac{4}{a}) = 4 \) => \( b^2 \frac{a-4}{a} = 4 \).

Из второго уравнения: \( b^2 (1 - \frac{10}{a} + \frac{24}{a^2}) = 1 \) => \( b^2 \frac{a^2 - 10a + 24}{a^2} = 1 \).

Подставим \( b^2 = \frac{4a}{a-4} \) во второе уравнение:

\( \frac{4a}{a-4} \cdot \frac{a^2 - 10a + 24}{a^2} = 1 \)

\( \frac{4}{a-4} \cdot \frac{(a-4)(a-6)}{a} = 1 \)

\( \frac{4(a-6)}{a} = 1 \)

\( 4a - 24 = a \)

\( 3a = 24 \)

\( a = 8 \).

Теперь найдём \( b \) из \( b^2 \frac{a-4}{a} = 4 \):

\( b^2 \frac{8-4}{8} = 4 \)

\( b^2 \frac{4}{8} = 4 \)

\( b^2 \frac{1}{2} = 4 \)

\( b^2 = 8 \)

\( b = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \).

Проверим условие \( a > 5 \). \( 8 > 5 \) — выполняется. Проверим \( a > 2 \). \( 8 > 2 \) — выполняется.

Длины сторон треугольника: \( AC = a = 8 \), \( BC = b = 2\sqrt{2} \). Гипотенуза \( AB = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{8^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{64 + 8} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \).

Ответ: Длины сторон треугольника равны \( 8 \), \( 2\sqrt{2} \) и \( 6\sqrt{2} \).