9. Тип 9 № 7369 Диагонали АС и BD трапеции ABCD с основаниями ВС и AD пересекаются в точке О, BC = 3, AD = 7, AC = 20. Найдите AO.

Решение:

В трапеции ABCD основания BC и AD параллельны. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O.

Рассмотрим треугольники \( \triangle BOC \) и \( \triangle DOA \).

• \( \angle BOC = \angle DOA \) (как вертикальные углы).
• \( \angle OBC = \angle ODA \) (как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей BD).
• \( \angle OCB = \angle OAD \) (как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей AC).

Следовательно, \( \triangle BOC \sim \triangle DOA \) по двум углам (или по трём).

Из подобия треугольников следует отношение сторон:

\( \frac{BC}{AD} = \frac{BO}{DO} = \frac{CO}{AO} \)

Нам дано:

• \( BC = 3 \)
• \( AD = 7 \)
• \( AC = 20 \)

Из подобия имеем:

\( \frac{BC}{AD} = \frac{CO}{AO} \)

\( \frac{3}{7} = \frac{CO}{AO} \)

Также мы знаем, что \( AC = AO + CO = 20 \).

Выразим CO через AO:

\( CO = 20 - AO \)

Подставим это в уравнение пропорции:

\( \frac{3}{7} = \frac{20 - AO}{AO} \)

Решим полученное уравнение:

\( 3 \cdot AO = 7 \cdot (20 - AO) \)

\( 3 AO = 140 - 7 AO \)

\( 3 AO + 7 AO = 140 \)

\( 10 AO = 140 \)

\( AO = \frac{140}{10} \)

\( AO = 14 \)

Ответ: 14