9. Точка M — середина стороны CD параллелограмма ABCD. На его стороне AD взяли такую точку K, что углы AKM и BMK равны. Найдите BM, если AK = 8, KD = 1. (рис.)

Так как точки A, K, D лежат на одной прямой, то
\(AD=AK+KD=8+1=9\).

Обозначим \(AB=CD=x\). Поскольку \(M\) — середина стороны \(CD\), имеем
\[CM=MD=\frac{x}{2}.\]

Используем условие равенства углов \(\angle AKM=\angle BMK\) и параллельность \(AB\parallel CD\). Из получающихся равных углов следует, что треугольники, образованные отрезками \(AB\), \(BM\) и \(KD\), дают соотношение

\[AB=2KD.\]

Следовательно,

\[AB=2\cdot1=2.\]

Так как \(M\) — середина \(CD\), а \(CD=AB\), то

\[BM=\frac{AB}{2}=\frac{2}{2}=1.\]

Ответ: \(BM=1\).