9. У Бори есть конфеты: 6 апельсиновых, 7 клубничных, 5 лимонных и 6 вишнёвых. Боря хочет разложить все конфеты в несколько пакетиков так, чтобы ни в одном пакетике не было двух одинаковых конфет и чтобы во всех пакетиках конфет было одинаковое количество. 1) Какое самое маленькое количество пакетиков сможет собрать Боря? 2) Боря разложил все конфеты в восемь пакетиков, причём конфет во всех пакетиках одинаковое количество и ни в одном пакетике нет двух одинаковых конфет. Сколько у него получилось пакетиков, в которых есть и апельсиновая, и клубничная, и лимонная конфета?

Решение:

Всего у Бори \( 6 + 7 + 5 + 6 = 24 \) конфеты.

1) Самое маленькое количество пакетиков:

Чтобы количество пакетиков было наименьшим, в каждом пакетике должно быть как можно больше разных видов конфет, но не более одной конфеты каждого вида. Количество пакетиков должно быть таким, чтобы все конфеты можно было разложить. Это значит, что количество пакетиков должно быть делителем общего числа конфет (24) и не может быть меньше количества конфет самого большого вида (7). Минимальное количество пакетиков, которое делит 24, и при этом больше или равно 7, это 8.

Ответ: 8 пакетиков.

2) Количество пакетиков с тремя видами конфет:

Боря разложил 24 конфеты в 8 пакетиков, по \( 24 : 8 = 3 \) конфеты в каждом.

Чтобы в каждом пакетике были апельсиновая, клубничная и лимонная конфета, нужно, чтобы число таких пакетиков было не больше количества каждого из этих видов конфет: \( 6 \) (апельсиновых), \( 7 \) (клубничных), \( 5 \) (лимонных).

Так как в каждом пакетике должно быть 3 конфеты, и эти 3 конфеты должны быть разными (одна апельсиновая, одна клубничная, одна лимонная), то количество таких пакетиков не может превышать наименьшее количество конфет одного вида, которое должно быть использовано в этих трёх видах (т.е. 5 лимонных конфет).

Если бы мы хотели, чтобы в каждом из 8 пакетиков было по одной апельсиновой, одной клубничной и одной лимонной конфете, нам бы понадобилось \( 8 \times 1 = 8 \) апельсиновых, \( 8 \times 1 = 8 \) клубничных и \( 8 \times 1 = 8 \) лимонных конфет. Но у Бори только 6 апельсиновых, 7 клубничных и 5 лимонных конфет. Значит, не во всех 8 пакетиках могут быть все три вида конфет.

Смотрим на самое маленькое количество конфет: 5 лимонных. Это значит, что максимум 5 пакетиков могут содержать лимонную конфету. Если эти 5 пакетиков содержат апельсиновую, клубничную и лимонную конфету, то остается \( 6 - 5 = 1 \) апельсиновая конфета и \( 7 - 5 = 2 \) клубничных конфеты, которые нужно распределить по оставшимся \( 8 - 5 = 3 \) пакетикам.

Так как в каждом пакетике должно быть 3 конфеты, и они не должны повторяться, а также конфеты должны быть разными видами (разноцветными), то мы можем сделать 5 пакетиков, в каждом из которых будут: 1 апельсиновая, 1 клубничная, 1 лимонная. Это использовало: 5 апельсиновых, 5 клубничных, 5 лимонных конфет.

Осталось: \( 6 - 5 = 1 \) апельсиновая, \( 7 - 5 = 2 \) клубничных, \( 6 \) вишнёвых.

Общее количество оставшихся конфет: \( 1 + 2 + 6 = 9 \). Эти 9 конфет нужно распределить в \( 8 - 5 = 3 \) пакетика.

Но мы знаем, что в каждом пакетике должно быть ровно 3 конфеты. Значит, 5 пакетиков с тремя видами конфет (апельсиновая, клубничная, лимонная) — это максимум.

Ответ: 5 пакетиков.