9. Упростите выражение:

Решение:

а) \( \frac{a^2+3ab-2a-6b}{a^2-9b^2} \cdot \frac{a-3b}{a^2-4} \)

Разложим числитель и знаменатель на множители:

Числитель первой дроби: \( a^2+3ab-2a-6b = a(a+3b)-2(a+3b) = (a-2)(a+3b) \)

Знаменатель первой дроби: \( a^2-9b^2 = (a-3b)(a+3b) \)

Знаменатель второй дроби: \( a^2-4 = (a-2)(a+2) \)

Подставим разложенные выражения:

\( \frac{(a-2)(a+3b)}{(a-3b)(a+3b)} \cdot \frac{a-3b}{(a-2)(a+2)} \)

Сократим общие множители:

\( \frac{\cancel{(a-2)}\cancel{(a+3b)}}{\cancel{(a-3b)}\cancel{(a+3b)}} \cdot \frac{\cancel{a-3b}}{\cancel{(a-2)}(a+2)} = \frac{1}{a+2} \)

б) \( \frac{xy-5y^2+2x-10y}{4x^3-xy^2} \cdot \frac{y-2x}{x-5y} \)

Разложим числитель и знаменатель на множители:

Числитель первой дроби: \( xy-5y^2+2x-10y = y(x-5y)+2(x-5y) = (y+2)(x-5y) \)

Знаменатель первой дроби: \( 4x^3-xy^2 = x(4x^2-y^2) = x(2x-y)(2x+y) \)

Перепишем вторую дробь, вынеся минус из числителя:

\( \frac{y-2x}{x-5y} = \frac{-(2x-y)}{x-5y} \)

Подставим разложенные выражения:

\( \frac{(y+2)(x-5y)}{x(2x-y)(2x+y)} \cdot \frac{-(2x-y)}{x-5y} \)

Сократим общие множители:

\( \frac{(y+2)\cancel{(x-5y)}}{\cancel{x}(2x-y)(2x+y)} \cdot \frac{-\cancel{(2x-y)}}{\cancel{x-5y}} = \frac{-(y+2)}{x(2x+y)} = \frac{-y-2}{2x^2+xy} \)

в) \( \frac{x^3-8}{25x^2} \cdot \frac{10x}{x^2+2x+4} \cdot \frac{15}{x^2+4x-12} \)

Разложим числитель и знаменатель на множители:

Числитель первой дроби: \( x^3-8 = (x-2)(x^2+2x+4) \)

Знаменатель третьей дроби: \( x^2+4x-12 = (x+6)(x-2) \)

Подставим разложенные выражения:

\( \frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{25x^2} \cdot \frac{10x}{x^2+2x+4} \cdot \frac{15}{(x+6)(x-2)} \)

Сократим общие множители:

\( \frac{\cancel{(x-2)}\cancel{(x^2+2x+4)}}{25x^{\cancel{2}}} \cdot \frac{10\cancel{x}}{\cancel{x^2+2x+4}} \cdot \frac{15}{(x+6)\cancel{(x-2)}} = \frac{1 10 15}{25x(x+6)} = \frac{150}{25x(x+6)} = \frac{6}{x(x+6)} \)

г) \( \frac{y^3+27}{y^2-4} \cdot \frac{y+2}{y^2-3y+9} \cdot \frac{y^2+y-2}{y^2+4y+3} \)

Разложим числитель и знаменатель на множители:

Числитель первой дроби: \( y^3+27 = (y+3)(y^2-3y+9) \)

Знаменатель первой дроби: \( y^2-4 = (y-2)(y+2) \)

Числитель третьей дроби: \( y^2+y-2 = (y+2)(y-1) \)

Знаменатель третьей дроби: \( y^2+4y+3 = (y+1)(y+3) \)

Подставим разложенные выражения:

\( \frac{(y+3)(y^2-3y+9)}{(y-2)(y+2)} \cdot \frac{y+2}{y^2-3y+9} \cdot \frac{(y+2)(y-1)}{(y+1)(y+3)} \)

Сократим общие множители:

\( \frac{\cancel{(y+3)}\cancel{(y^2-3y+9)}}{\cancel{(y-2)}\cancel{(y+2)}} \cdot \frac{\cancel{y+2}}{\cancel{y^2-3y+9}} \cdot \frac{(y+2)(y-1)}{(y+1)\cancel{(y+3)}} = \frac{y+2}{y-1} \cdot \frac{y-1}{y+1} \)

\( \frac{(y+2)\cancel{(y-1)}}{\cancel{(y-1)}(y+1)} = \frac{y+2}{y+1} \)

Ответ: а) \( \frac{1}{a+2} \); б) \( \frac{-y-2}{2x^2+xy} \); в) \( \frac{6}{x(x+6)} \); г) \( \frac{y+2}{y+1} \)