9. Упростите выражения: 1) $(6^{2n}+6^n-1)(6^n-1)+2(6^n-1)$; 2) $(3^n+1)(3^{2n}-3^n+1)-3^{3n}$; 3) $(4^n-1)(4^{4n}+4^{3n}+4^{2n}+4^n+1)+1$; 4) $(2^{3n}+4^n+2^n+1)(2^n-1)+1$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 9. Упростите выражения: 1) $(6^{2n}+6^n-1)(6^n-1)+2(6^n-1)$; 2) $(3^n+1)(3^{2n}-3^n+1)-3^{3n}$; 3)…$ Фото задания

Accepted Answer

Обозначим $x=6^n$. Вынесем общий множитель и применим формулу суммы кубов:
$(x^2+x-1)(x-1)+2(x-1)=(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1=6^{3n}-1$.
Применим формулу суммы кубов:
$(3^n+1)(3^{2n}-3^n+1)-3^{3n}=(3^{3n}+1)-3^{3n}=1$.
Обозначим $x=4^n$. Используем формулу разности пятых степеней:
$(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)+1=x^5-1+1=x^5=4^{5n}$.
Обозначим $x=2^n$, тогда $4^n=x^2$. Сгруппируем слагаемые:
$(x^3+x^2+x+1)(x-1)+1=((x+1)(x^2+1))(x-1)+1$
$=(x^2-1)(x^2+1)+1=x^4-1+1=x^4=2^{4n}$.

9. Упростите выражения: 1) \((6^{2n}+6^n-1)(6^n-1)+2(6^n-1)\); 2) \((3^n+1)(3^{2n}-3^n+1)-3^{3n}\); 3) \((4^n-1)(4^{4n}+4^{3n}+4^{2n}+4^n+1)+1\); 4) \((2^{3n}+4^n+2^n+1)(2^n-1)+1\).