9. Уравнения с одной переменной.

1. Является ли данное число корнем уравнения:

1. \(x^3 - 3x^2 + 4x - 2 = 0\), \(a = 1\).

Подставим \( x = 1 \) в уравнение:

\(1^3 - 3 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 - 2 = 1 - 3 + 4 - 2 = 0\)

Ответ: Да, является.

2. \(2x^2 - 3x - 2 = 0\), \(a = -0,5\).

Подставим \( x = -0,5 \) в уравнение:

\(2 \cdot (-0,5)^2 - 3 \cdot (-0,5) - 2 = 2 \cdot 0,25 + 1,5 - 2 = 0,5 + 1,5 - 2 = 0\)

Ответ: Да, является.

2. Даны уравнения:

A) \(7 - 4x = x - 1\)

Б) \(3(4x - 7) = 3(1 - x)\)

B) \(\frac{4x - 7}{3} = \frac{1 - x}{3}\)

Г) \(4x - x = 1 - 7\)

Укажите те, которые равносильны уравнению \(4x - 7 = 1 - x\). Ответ объясните.

Решим исходное уравнение:

\(4x - 7 = 1 - x\)

\(4x + x = 1 + 7\)

\(5x = 8\)

\(x = \frac{8}{5} = 1,6\)

Теперь решим каждое из данных уравнений:

A) \(7 - 4x = x - 1\)

\(7 + 1 = x + 4x\)

\(8 = 5x\)

\(x = \frac{8}{5}\)

Ответ: Уравнение А равносильно исходному.

Б) \(3(4x - 7) = 3(1 - x)\)

Разделим обе части на 3:

\(4x - 7 = 1 - x\)

\(5x = 8\)

\(x = \frac{8}{5}\)

Ответ: Уравнение Б равносильно исходному.

B) \(\frac{4x - 7}{3} = \frac{1 - x}{3}\)

Умножим обе части на 3:

\(4x - 7 = 1 - x\)

\(5x = 8\)

\(x = \frac{8}{5}\)

Ответ: Уравнение В равносильно исходному.

Г) \(4x - x = 1 - 7\)

\(3x = -6\)

\(x = -2\)

Ответ: Уравнение Г не равносильно исходному.

3. Решите уравнение:

1. \(-3x = 5\)

\(x = -\frac{5}{3}\)

2. \(0,4y = -0,7\)

\(y = \frac{-0,7}{0,4} = -\frac{7}{4} = -1,75\)

3. \(0z = -3\)

\(0 = -3\) — ложное равенство, корней нет.

4. \(0t = 0\)

\(0 = 0\) — верное равенство, верно для любого \(t\). Множество всех действительных чисел.

4. Найдите все целые значения параметра а, при которых уравнение ах = -6 имеет целый корень.

Чтобы уравнение \(ax = -6\) имело целый корень \(x\), \(a\) должно быть делителем числа -6. Делителями числа -6 являются: \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\).

Ответ: \( a \in \{-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6\} \)

5. Найдите множество корней уравнения:

1. \(|4x| = 1,2\)

\(4x = 1,2\) или \(4x = -1,2\)

\(x = 0,3\) или \(x = -0,3\)

Ответ: \(\{-0,3; 0,3\}\)

2. \(|-0,04y| = 2,8\)

\(|0,04y| = 2,8\)

\(0,04y = 2,8\) или \(0,04y = -2,8\)

\(y = \frac{2,8}{0,04} = 70\) или \(y = \frac{-2,8}{0,04} = -70\)

Ответ: \(\{-70; 70\}\)

3. \(|4,08x| = 0\)

\(4,08x = 0\)

\(x = 0\)

Ответ: \( \{0\} \)

4. \(|0,01y| = -0,1\)

Модуль числа не может быть отрицательным. Корней нет.

Ответ: Корней нет.

6. При каких значениях параметра а уравнение ах = a² - 4a:

1. имеет единственный корень;

Уравнение \(ax = a^2 - 4a\) имеет единственный корень, когда \(a \neq 0\). В этом случае \(x = \frac{a^2 - 4a}{a} = a - 4\).

Ответ: \( a \neq 0 \)

2. не имеет корней;

Уравнение не имеет корней, если \(a = 0\) и \(a^2 - 4a \neq 0\). Подставим \(a = 0\): \(0 \cdot x = 0^2 - 4 \cdot 0\), то есть \(0 = 0\). Это случай бесконечного множества корней.

Ответ: Таких значений \(a\) нет.

3. имеет бесконечное множество корней?

Уравнение имеет бесконечное множество корней, если \(a = 0\) и \(a^2 - 4a = 0\). Подставим \(a = 0\): \(0 \cdot x = 0^2 - 4 \cdot 0\), то есть \(0 = 0\). Это верно для любого \(x\).

Ответ: \( a = 0 \)

7. Решите уравнение -2mn = x (m ≠ 0 и n ≠ 0) относительно переменной:

1. m;

\(m = \frac{x}{-2n}\)

Ответ: \( m = -\frac{x}{2n} \)

2. n.

\(n = \frac{x}{-2m}\)

Ответ: \( n = -\frac{x}{2m} \)

8. Дано уравнение x⁴ - 2x³ - 3x + 4 = 0. Проверьте, являются ли его корнями числа:

1. 1;

\(1^4 - 2 \cdot 1^3 - 3 \cdot 1 + 4 = 1 - 2 - 3 + 4 = 0\)

Ответ: Является.

2. -1;

\((-1)^4 - 2 \cdot (-1)^3 - 3 \cdot (-1) + 4 = 1 - 2 \cdot (-1) + 3 + 4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 \neq 0\)

Ответ: Не является.

3. 2;

\(2^4 - 2 \cdot 2^3 - 3 \cdot 2 + 4 = 16 - 2 \cdot 8 - 6 + 4 = 16 - 16 - 6 + 4 = -2 \neq 0\)

Ответ: Не является.

4. -2;

\((-2)^4 - 2 \cdot (-2)^3 - 3 \cdot (-2) + 4 = 16 - 2 \cdot (-8) + 6 + 4 = 16 + 16 + 6 + 4 = 42 \neq 0\)

Ответ: Не является.

5. 4;

\(4^4 - 2 \cdot 4^3 - 3 \cdot 4 + 4 = 256 - 2 \cdot 64 - 12 + 4 = 256 - 128 - 12 + 4 = 120 \neq 0\)

Ответ: Не является.

6. -4.

\((-4)^4 - 2 \cdot (-4)^3 - 3 \cdot (-4) + 4 = 256 - 2 \cdot (-64) + 12 + 4 = 256 + 128 + 12 + 4 = 400 \neq 0\)

Ответ: Не является.