№ 9. В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ точки $M$ и $K$ — середины рёбер $AB$ и $SD$ соответственно. а) Докажите, что прямая $MK$ параллельна плоскости $SBC$. б) Найдите высоту пирамиды $SABCD$, если $AB=6$, а угол между прямой $MK$ и плоскостью основания пирамиды равен $60^\circ$.

Question

Вопрос: $Фото задания: № 9. В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ точки $M$ и $K$ — середины рёбер $AB$ и $SD$ соответственно.…$ Фото задания

№ 9. В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ точки $M$ и $K$ — середины рёбер $AB$ и $SD$ соответственно. а) Докажите, что прямая $MK$ параллельна плоскости $SBC$. б) Найдите высоту пирамиды $SABCD$, если $AB=6$, а угол между прямой $MK$ и плоскостью основания пирамиды равен $60^\circ$.

Accepted Answer

а) Введём координаты: пусть центр квадратного основания — начало координат, а плоскость основания имеет уравнение $z=0$. Обозначим сторону квадрата через $a$, высоту пирамиды — через $h$:

$A(-a/2,-a/2,0),\ B(a/2,-a/2,0),\ C(a/2,a/2,0),\ D(-a/2,a/2,0),\ S(0,0,h).$

Тогда $M(0,-a/2,0)$, $K(-a/4,a/4,h/2)$, поэтому направляющий вектор $\overrightarrow{MK}=(-a/4,3a/4,h/2)$.

Векторы плоскости $SBC$: $\overrightarrow{BC}=(0,a,0)$ и $\overrightarrow{BS}=(-a/2,a/2,h)$. Нормальный вектор к этой плоскости можно взять равным $(ah,0,a^2/2)$. Его скалярное произведение с направляющим вектором $MK$ равно $(ah)(-a/4)+(a^2/2)(h/2)=0$. Следовательно, $MK$ параллельна плоскости $SBC$.

б) Проекция вектора $\overrightarrow{MK}$ на основание имеет длину $\sqrt{(a/4)^2+(3a/4)^2}=a\sqrt{10}/4$, а вертикальная составляющая равна $h/2$. Поэтому для угла $\varphi$ между прямой и плоскостью основания:

$\tan\varphi=\dfrac{h/2}{a\sqrt{10}/4}=\dfrac{2h}{a\sqrt{10}}.$

Подставим $\varphi=60^\circ$ и $a=AB=6$:

$\sqrt{3}=\dfrac{2h}{6\sqrt{10}},\quad h=3\sqrt{30}.$

Ответ: высота пирамиды равна $3\sqrt{30}$.