9. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC = 70, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 7√19. Найдите sin ∠ABC.

Так как треугольник прямоугольный, его гипотенуза — AB. Для угла B синус равен отношению противолежащего катета AC к гипотенузе AB.

Пусть BC = x. По площади треугольника, вычисленной двумя способами: AC · BC / 2 = AB · CH / 2, поэтому AB = 70x/(7√19) = 10x/√19.

По теореме Пифагора: AB² = AC² + BC². Подставим выражение для AB:

\(\frac{100x^2}{19}=4900+x^2\), откуда \(81x^2=93100\) и \(x=\frac{70\sqrt{19}}{9}\).

Тогда \(AB=\frac{10}{\sqrt{19}}\cdot\frac{70\sqrt{19}}{9}=\frac{700}{9}\). Следовательно, \(\sin\angle ABC=\frac{AC}{AB}=\frac{70}{700/9}=\frac{9}{10}\).

Ответ: \(\frac{9}{10}\).