9. В прямоугольной трапеции CDEF отрезки CF и DE являются её основаниями, причём CF > DE, ∠DCF = 90°. Диагонали трапеции пересекаются в точке K. Известно, что DK = 6, KF = 9, cos(∠DFC) = 4/5. а) Найдите длину большего основания трапеции. б) Найдите площадь трапеции.

а) В прямоугольном треугольнике DCF гипотенуза DF равна DK + KF = 6 + 9 = 15. По определению косинуса: cos(∠DFC) = CF / DF = 4/5, поэтому CF = 15 · 4/5 = 12.

Высота трапеции CD = √(DF² − CF²) = √(15² − 12²) = 9.

Треугольники DKE и FKC подобны: их вертикальные углы при K равны, а DE параллельна CF. Поэтому DE / CF = DK / KF = 6/9, откуда DE = 12 · 6/9 = 8. Поскольку CF больше DE, большее основание равно 12.

б) Площадь трапеции равна половине суммы оснований, умноженной на высоту: S = (CF + DE) · CD / 2 = (12 + 8) · 9 / 2 = 90.

Ответ: а) 12; б) 90.