9. В равнобедренном △ABC (AB = BC) медиана AD и средняя линия EF ∥ AC пересекаются в O. Найдите EF, если AO = 8 см, а высота, проведённая к основанию, равна 12 см.

В треугольнике средняя линия, параллельная AC, проходит через середину BC. Эта середина — точка D, поэтому пересечение O совпадает с D, а \(AD = AO = 8\) см.

Пусть H — основание высоты из B на AC. В равнобедренном треугольнике H — середина AC, а \(BH = 12\) см. Поскольку D — середина BC, его высота над AC равна половине высоты B, то есть 6 см.

Из прямоугольного треугольника с гипотенузой AD получаем горизонтальное расстояние от A до D-проекции: \(\sqrt{8^2-6^2}=\sqrt{28}=2\sqrt7\) см. Так как H находится посередине AC, это расстояние равно \(3AC/4\). Следовательно, \(AC=\frac{8\sqrt7}{3}\) см.

Средняя линия равна половине основания: \(EF=AC/2=\frac{4\sqrt7}{3}\) см.

Ответ: \(\frac{4\sqrt7}{3}\) см.