9. В равнобедренной трапеции известна высота, большее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите меньшее основание.

Краткое пояснение:

Для решения задачи мы будем использовать тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, частью большего основания и боковой стороной.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Идентифицируем данные на рисунке. Высота трапеции равна 4. Большее основание равно 13. Угол при основании равен 45°.
2. Шаг 2: Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, частью большего основания и боковой стороной. В этом треугольнике высота (4) является противолежащим катетом к углу 45°, а отрезок большего основания, прилежащий к этому углу, является прилежащим катетом.
3. Шаг 3: Используем тангенс угла для нахождения прилежащего катета (части большего основания). Та́нгенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему: \( an(45^ ext{o}) = rac{ ext{противолежащий катет}}{ ext{прилежащий катет}} \).
4. Шаг 4: Подставляем известные значения: \( an(45^ ext{o}) = rac{4}{ ext{прилежащий катет}} \). Так как \( an(45^ ext{o}) = 1 \), то \( 1 = rac{4}{ ext{прилежащий катет}} \).
5. Шаг 5: Находим длину прилежащего катета: Прилежащий катет = 4. Этот отрезок является частью большего основания.
6. Шаг 6: В равнобедренной трапеции из вершины меньшего основания опущены две высоты. Эти высоты делят большее основание на три отрезка: два равных отрезка по краям и отрезок, равный меньшему основанию, посередине.
7. Шаг 7: Отрезок, который мы нашли (4), является одним из равных крайних отрезков большего основания.
8. Шаг 8: Большее основание состоит из трех частей: крайний отрезок + меньшее основание + крайний отрезок. Таким образом, \( ext{большее основание} = ext{крайний отрезок} + ext{меньшее основание} + ext{крайний отрезок} \).
9. Шаг 9: Подставляем значения: \( 13 = 4 + ext{меньшее основание} + 4 \).
10. Шаг 10: Находим меньшее основание: \( 13 = 8 + ext{меньшее основание} \). Меньшее основание = \( 13 - 8 = 5 \).

Ответ: 5