9 В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AB = 14, tg A = 4√2 / 7. Найдите длину стороны АС.

Решение:

Дан равнобедренный треугольник ABC, где AC = BC. Угол A равен углу B.

Нам дано \( \text{tg } A = \frac{4\sqrt{2}}{7} \). В равнобедренном треугольнике \( \text{tg } A = \text{tg } B \).

Проведем высоту CH к основанию AB. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой и биссектрисой. Значит, H — середина AB, и AH = HB = \( \frac{14}{2} = 7 \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. В нем:

\[ \text{tg } A = \frac{CH}{AH} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{4\sqrt{2}}{7} = \frac{CH}{7} \]

Отсюда найдем высоту CH:

\[ CH = 7 \times \frac{4\sqrt{2}}{7} = 4\sqrt{2} \]

Теперь найдем длину стороны AC, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ACH:

\[ AC^2 = AH^2 + CH^2 \]

\[ AC^2 = 7^2 + (4\sqrt{2})^2 \]

\[ AC^2 = 49 + (16 \times 2) \]

\[ AC^2 = 49 + 32 \]

\[ AC^2 = 81 \]

\[ AC = \sqrt{81} = 9 \]

Ответ: 9