9. В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AC = 28 и BC = BM. Найдите AH.

Так как BM — медиана, точка M — середина AC:

AM = MC = 28 : 2 = 14.

Поскольку BH — высота, треугольники BHC и BHM прямоугольные. По теореме Пифагора:

BC² = BH² + HC², BM² = BH² + HM².

По условию BC = BM, поэтому HC² = HM². Следовательно, HC = HM. По рисунку точки расположены в порядке A, M, H, C, значит HC = HM = x − 14, где x = AH; также HC = 28 − x.

28 − x = x − 14, откуда 2x = 42 и x = 21.

Ответ: AH = 21.