9. В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AC = 53 и BC = BM. Найдите AH.

Так как BM — медиана, точка M — середина AC, поэтому \(AM=MC=53/2=26.5\).

Пусть \(AH=x\). Тогда \(HC=53-x\). Из прямоугольных треугольников BHM и BHC и условия \(BM=BC\):

\(BM^2=BH^2+HM^2\), \(BC^2=BH^2+HC^2\), где \(HM=|x-26.5|\). Равенство длин даёт \((x-26.5)^2=(53-x)^2\). Поскольку \(M\) находится между A и C, отсюда \(x-26.5=53-x\), значит \(x=39.75\).

Ответ: 39,75.