9. В треугольнике ABC (рис. 111) проведены медианы AK, BN и CL, M — точка их пересечения, и NF ∥ AK. Найдите периметр треугольника NMF, если AK = 102 см, CL = 81 см, BN = 96 см.

Предположим, как следует из рисунка, что точка F лежит на медиане CL. Центроид M делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

1. На медиане BN: MN = BN ÷ 3 = 96 ÷ 3 = 32 см.
2. Так как NF ∥ AK, треугольники CNF и CAK подобны. N — середина AC, поэтому CN/CA = 1/2, откуда CF/CK = 1/2. Поскольку CK — половина медианы CL, CF = CL/4. Также CM = 2CL/3, значит MF = CM − CF = CL/3 = 81/3 = 27 см.
3. Из подобия треугольников CNF и CAK: NF/AK = CN/CA = 1/2, поэтому NF = 102/2 = 51 см.

Периметр треугольника NMF: 32 + 27 + 51 = 110 см.

Ответ: 110 см.

Если на рисунке 111 точка F расположена не на CL, уточните её положение: в тексте без рисунка оно не задано.