9 В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 4, cos A = \(\frac{4\sqrt{65}}{65}\). Найдите длину стороны BC.

В прямоугольном треугольнике ABC, где \(\angle C = 90^°\), нам дано:

• Катет \(AC = 4\)
• Косинус угла \(A\): \(\cos A = \frac{4\sqrt{65}}{65}\)

По определению косинуса в прямоугольном треугольнике:

\(\cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB}\)

Мы можем найти длину гипотенузы \(AB\):

\[ \frac{4\sqrt{65}}{65} = \frac{4}{AB} \]

Решим уравнение относительно \(AB\):

\[ AB = \frac{4 \cdot 65}{4\sqrt{65}} = \frac{65}{\sqrt{65}} = \sqrt{65} \]

Теперь, зная длины катета \(AC\) и гипотенузы \(AB\), мы можем найти длину катета \(BC\) с помощью теоремы Пифагора: \(AC^2 + BC^2 = AB^2\).

\[ 4^2 + BC^2 = (\sqrt{65})^2 \]

\[ 16 + BC^2 = 65 \]

\[ BC^2 = 65 - 16 \]

\[ BC^2 = 49 \]

\[ BC = \sqrt{49} = 7 \]

Ответ: 7