Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
9. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 4, sinA = √5/5. Найдите ВС.
Ответ:
Краткое пояснение:
Краткое пояснение: В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Используя данное значение синуса и длину катета AC, мы можем найти длину гипотенузы AB, а затем, применив теорему Пифагора, вычислить длину катета BC.
Пошаговое решение:
- Шаг 1: Найдем длину гипотенузы AB. По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике: \( \sin A = \frac{BC}{AB} \). Нам дано \( \sin A = \frac{\sqrt{5}}{5} \) и \( AC = 4 \). Так как \( \sin A = \frac{BC}{AB} \), и нам нужно найти BC, нам нужно найти AB.
- Шаг 2: Используем соотношение \( \sin A = \frac{AC}{AB} \) (ошибка в условии, должно быть \( \sin A = \frac{BC}{AB} \) и \( \cos A = \frac{AC}{AB} \) ). Исходя из условия, где \( \sin A = \frac{\sqrt{5}}{5} \), и \( AC = 4 \), можно предположить, что AC является противолежащим катетом к углу B, а BC — противолежащим катетом к углу A. В условии же сказано, что AC=4. Примем, что AC - противолежащий катет к углу B, а BC - противолежащий катет к углу A. Тогда \( \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{5}}{5} \) и \( \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{AB} \). Используя основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \), подставим значения: \( (\frac{\sqrt{5}}{5})^2 + (\frac{4}{AB})^2 = 1 \). \( \frac{5}{25} + \frac{16}{AB^2} = 1 \). \( \frac{1}{5} + \frac{16}{AB^2} = 1 \). \( \frac{16}{AB^2} = 1 - \frac{1}{5} \). \( \frac{16}{AB^2} = \frac{4}{5} \). \( AB^2 = \frac{16 \cdot 5}{4} = 16 \cdot \frac{5}{4} = 4 \cdot 5 = 20 \). \( AB = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \).
- Шаг 3: Теперь найдем BC, используя \( \sin A = \frac{BC}{AB} \). \( BC = AB \cdot \sin A \). \( BC = 2\sqrt{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{2 \cdot 5}{5} = 2 \).
Ответ: 2
