9. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 6, BC = 3√21. Найдите cos A.

У нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90°.

Даны длины катетов:
AC = 6
BC = 3√21

Нужно найти косинус угла A (cos A).

Вспомним определение косинуса в прямоугольном треугольнике:

\[ \cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \]

В нашем случае:

• Прилежащий катет к углу A — это AC.
• Гипотенуза — это сторона, противоположная прямому углу, то есть AB.

Сначала найдем длину гипотенузы AB по теореме Пифагора: a² + b² = c², где a и b — катеты, c — гипотенуза.

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

\[ AB^2 = 6^2 + (3\sqrt{21})^2 \]

\[ AB^2 = 36 + (3^2 \times (\sqrt{21})^2) \]

\[ AB^2 = 36 + (9 \times 21) \]

\[ AB^2 = 36 + 189 \]

\[ AB^2 = 225 \]

\[ AB = \sqrt{225} \]

\[ AB = 15 \]

Теперь можем найти cos A:

\[ \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{6}{15} \]

Сократим дробь:

\[ \cos A = \frac{6 \div 3}{15 \div 3} = \frac{2}{5} \]

Ответ: 2/5