9. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 6, cos A = $$\frac{6\sqrt{85}}{85}$$. Найдите длину стороны BC:

Решение:

У нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90°.

Дано:

• $$AC = 6$$
• $$\cos A = \frac{6\sqrt{85}}{85}$$

Найти: $$BC$$.

Вспомним определение косинуса в прямоугольном треугольнике:

$$\cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB}$$

Мы знаем $$AC$$ и $$\cos A$$, поэтому можем найти гипотенузу $$AB$$:

$$\frac{6\sqrt{85}}{85} = \frac{6}{AB}$$

Чтобы найти $$AB$$, перемножим крест-накрест:

$$AB \cdot \frac{6\sqrt{85}}{85} = 6$$

$$AB = \frac{6 \cdot 85}{6\sqrt{85}}$$

Сократим 6:

$$AB = \frac{85}{\sqrt{85}}$$

Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $$\sqrt{85}$$:

$$AB = \frac{85 \cdot \sqrt{85}}{\sqrt{85} \cdot \sqrt{85}} = \frac{85\sqrt{85}}{85}$$

Сократим 85:

$$AB = \sqrt{85}$$

Теперь, когда мы знаем $$AC$$ и $$AB$$, мы можем найти $$BC$$ с помощью теоремы Пифагора ($$AC^2 + BC^2 = AB^2$$):

$$6^2 + BC^2 = (\sqrt{85})^2$$

$$36 + BC^2 = 85$$

$$BC^2 = 85 - 36$$

$$BC^2 = 49$$

$$BC = \sqrt{49}$$

$$BC = 7$$

Ответ: 7