9. В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, AB = 36, sin A = 5/6. Найдите длину отрезка BH.

В прямоугольном треугольнике ABC:

Угол C = 90°

AB = 36

sin A = 5/6

CH - высота

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике синус угла A равен отношению противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB).

$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$

Подставим известные значения:

$$\frac{5}{6} = \frac{BC}{36}$$

Теперь найдем длину катета BC:

$$BC = \frac{5}{6} \times 36 = 5 \times 6 = 30$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CBH. В нем угол CHB = 90°.

В треугольнике ABC, чтобы найти BH, мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике CBH, но нам нужно найти CH. Или мы можем найти BH, зная AB и cos A.

Сначала найдем cos A. Используем основное тригонометрическое тождество: $$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$$.

$$\cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - (\frac{5}{6})^2 = 1 - \frac{25}{36} = \frac{36 - 25}{36} = \frac{11}{36}$$

$$\cos A = \sqrt{\frac{11}{36}} = \frac{\sqrt{11}}{6}$$ (Так как угол A острый в прямоугольном треугольнике, косинус положительный).

Теперь в треугольнике ABC:

$$\cos A = \frac{AC}{AB}$$

$$AC = AB \times \cos A = 36 \times \frac{\sqrt{11}}{6} = 6\sqrt{11}$$

Теперь вернемся к треугольнику CBH. Мы можем использовать теорему Пифагора, но нам нужно найти CH. Для этого используем формулу площади треугольника ABC.

Площадь ABC = $$\frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times (6\sqrt{11}) \times 30 = 90\sqrt{11}$$

Также площадь ABC = $$\frac{1}{2} \times AB \times CH$$.

$$\frac{1}{2} \times 36 \times CH = 90\sqrt{11}$$

$$18 \times CH = 90\sqrt{11}$$

$$CH = \frac{90\sqrt{11}}{18} = 5\sqrt{11}$$

Теперь в прямоугольном треугольнике CBH:

$$CB^2 = CH^2 + BH^2$$

$$30^2 = (5\sqrt{11})^2 + BH^2$$

$$900 = 25 \times 11 + BH^2$$

$$900 = 275 + BH^2$$

$$BH^2 = 900 - 275 = 625$$

$$BH = \sqrt{625} = 25$$

Альтернативный способ:

В прямоугольном треугольнике ABC, BH является проекцией катета BC на гипотенузу AB.

Есть формула: $$BC^2 = BH \times AB$$.

Мы нашли $$BC = 30$$ и $$AB = 36$$.

$$30^2 = BH \times 36$$

$$900 = BH \times 36$$

$$BH = \frac{900}{36} = 25$$

Ответ: 25