9 В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, AB = 45, sin A = 2/3. Найдите длину отрезка BH.

Пошаговое решение:

1. Находим длину BC:
   В прямоугольном треугольнике ABC:
   \( СИН A = rac{BC}{AB} \)
   \( rac{2}{3} = rac{BC}{45} \)
   \( BC = 45 ∙ rac{2}{3} = 15 ∙ 2 = 30 \)
2. Находим длину AC:
   Используем теорему Пифагора для треугольника ABC:
   \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \)
   \( AC^2 + 30^2 = 45^2 \)
   \( AC^2 + 900 = 2025 \)
   \( AC^2 = 2025 - 900 \)
   \( AC^2 = 1125 \)
   \( AC = √1125 = √{225 ∙ 5} = 15√5 \)
3. Находим длину CH (высоту):
   Площадь треугольника ABC можно найти двумя способами:
   \( S = rac{1}{2} ∙ AC ∙ BC = rac{1}{2} ∙ AB ∙ CH \)
   \( rac{1}{2} ∙ 15√5 ∙ 30 = rac{1}{2} ∙ 45 ∙ CH \)
   \( 15√5 ∙ 15 = 45 ∙ CH \)
   \( 225√5 = 45 ∙ CH \)
   \( CH = rac{225√5}{45} = 5√5 \)
4. Находим длину BH:
   В прямоугольном треугольнике CHB:
   \( BH^2 + CH^2 = BC^2 \)
   \( BH^2 + (5√5)^2 = 30^2 \)
   \( BH^2 + (25 ∙ 5) = 900 \)
   \( BH^2 + 125 = 900 \)
   \( BH^2 = 900 - 125 \)
   \( BH^2 = 775 \)
   \( BH = √775 = √{25 ∙ 31} = 5√31 \)

Ответ: 5√31