9. В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH - высота, AB=90, sin A=2/3. Найдите длину отрезка BH.

Нам дан прямоугольный треугольник ABC, где ∠ C = 90°. AB - гипотенуза, равная 90. CH - высота, опущенная на гипотенузу. Также дано, что sin A = 2/3.

В прямоугольном треугольнике ABC:

sin A = (CB)/(AB)

Отсюда мы можем найти длину катета CB:

CB = AB * sin A = 90 * (2/3) = 30 * 2 = 60

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CBH (так как CH - высота, то ∠ CHB = 90°). В этом треугольнике CB - гипотенуза.

В треугольнике ABC, угол B равен 90° - угол A. Найдем cos A:

cos² A + sin² A = 1

cos² A = 1 - (2/3)² = 1 - 4/9 = 5/9

cos A = √5/3

В треугольнике CBH:

BH = CB * cos B

Так как B = 90° - A, то cos B = cos (90° - A) = sin A.

Следовательно,

BH = CB * sin A = 60 * (2/3) = 40

Ответ: 40