9. В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, AB = 90, sin A = 2/3. Найдите длину отрезка BH.

Решение:

1. Находим длину стороны BC:

   В прямоугольном треугольнике ABC:

   \(\sin A = \frac{BC}{AB}\)

   \(\frac{2}{3} = \frac{BC}{90}\)

   \(BC = 90 \cdot \frac{2}{3} = 60\)

2. Находим длину отрезка BH:

   В прямоугольном треугольнике BCH:

   \(\sin C = \sin 90° = 1\)

   \(\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}\)

   \(\sin B = \sin(90° - A) = \cos A = \frac{\sqrt{5}}{3}\)

   В прямоугольном треугольнике BHC:

   \(\sin B = \frac{CH}{BC}\)

   \(\cos B = \frac{BH}{BC}\)

   \(BH = BC \cdot \cos B\)

   \(\cos B = \sqrt{1 - \sin^2 B} = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{5}}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}\)

   \(BH = 60 \cdot \frac{2}{3} = 40\)

Финальный ответ:

Ответ: 40