9 В треугольнике АВС известно, что АС = BC, AB=12, tg A = √7 / 3. Найдите длину стороны АС.

Решение:

1. Определим тип треугольника:

   По условию, $$AC = BC$$, значит, треугольник ABC — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть $$\angle A = \angle B$$.

2. Используем значение тангенса:

   Нам дано $$tg A = \frac{\sqrt{7}}{3}$$.

3. Найдем синус угла A:

   Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $$sin^2 A + cos^2 A = 1$$. Также знаем, что $$tg A = \frac{sin A}{cos A}$$.

   Из $$tg A = \frac{\sqrt{7}}{3}$$ следует, что $$sin A = \frac{\sqrt{7}}{3} cos A$$.

   Подставим это в основное тригонометрическое тождество:

   \[ \left(\frac{\sqrt{7}}{3} cos A\right)^2 + cos^2 A = 1 \]

   \[ \frac{7}{9} cos^2 A + cos^2 A = 1 \]

   \[ cos^2 A \left(\frac{7}{9} + 1\right) = 1 \]

   \[ cos^2 A \left(\frac{7+9}{9}\right) = 1 \]

   \[ cos^2 A \left(\frac{16}{9}\right) = 1 \]

   \[ cos^2 A = \frac{9}{16} \]

   Так как A — угол треугольника, то $$cos A > 0$$. Следовательно, $$cos A = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$$.

   Теперь найдем $$sin A$$:

   \[ sin A = tg A \times cos A = \frac{\sqrt{7}}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{\sqrt{7}}{4} \]

4. Используем теорему синусов:

   Теорема синусов гласит: $$ \frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2R $$, где R — радиус описанной окружности. В нашем случае сторона $$c$$ — это $$AB$$, а $$a$$ — $$BC$$ (или $$AC$$, так как $$AC=BC$$).

   Мы знаем $$AB = 12$$. Так как $$\angle A = \angle B$$, то $$sin A = sin B = \frac{\sqrt{7}}{4}$$.

   Применим теорему синусов для стороны $$AB$$ и угла $$C$$. Нам нужно найти $$AC$$. В равнобедренном треугольнике $$AC = BC$$. Пусть $$AC = BC = x$$. Тогда по теореме синусов:

   \[ \frac{AC}{sin B} = \frac{AB}{sin C} \]

   Сначала найдем $$sin C$$. Сумма углов треугольника равна 180°, то есть $$C = 180° - (A+B)$$. Так как $$A=B$$, то $$C = 180° - 2A$$.

   \[ sin C = sin(180° - 2A) = sin(2A) \]

   Используем формулу двойного угла: $$sin(2A) = 2 sin A cos A$$.

   \[ sin C = 2 \times \frac{\sqrt{7}}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{6\sqrt{7}}{16} = \frac{3\sqrt{7}}{8} \]

   Теперь подставим в теорему синусов:

   \[ \frac{AC}{sin B} = \frac{AB}{sin C} \]

   \[ \frac{AC}{\frac{\sqrt{7}}{4}} = \frac{12}{\frac{3\sqrt{7}}{8}} \]

   Выразим $$AC$$:

   \[ AC = \frac{12}{\frac{3\sqrt{7}}{8}} \times \frac{\sqrt{7}}{4} \]

   \[ AC = 12 \times \frac{8}{3\sqrt{7}} \times \frac{\sqrt{7}}{4} \]

   Сократим $$\sqrt{7}$$:

   \[ AC = 12 \times \frac{8}{3} \times \frac{1}{4} \]

   \[ AC = \frac{12 \times 8}{3 \times 4} = \frac{96}{12} = 8 \]

Ответ: 8