9 В треугольнике АВС известно, что АС = ВС, AB = 12, tg A = 4/3. Найдите длину стороны АС.

Решение:

В треугольнике \( ABC \) известно, что \( AC = BC \), значит, треугольник \( ABC \) — равнобедренный.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны, то есть \( \angle A = \angle B \).

По условию \( \text{tg} A = \frac{4}{3} \). В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Опустим высоту \( CH \) из вершины \( C \) на основание \( AB \). Так как треугольник равнобедренный, высота \( CH \) является также медианой, то есть \( AH = HB = \frac{1}{2} AB \).

\[ AH = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 \]

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \( AHC \). В нём \( \text{tg} A = \frac{CH}{AH} \).

Мы знаем \( \text{tg} A = \frac{4}{3} \) и \( AH = 6 \). Подставим значения:

\[ \frac{4}{3} = \frac{CH}{6} \]

Выразим \( CH \):

\[ CH = \frac{4}{3} \cdot 6 = 4 \cdot 2 = 8 \]

Теперь найдём длину боковой стороны \( AC \) в прямоугольном треугольнике \( AHC \), используя теорему Пифагора \( AC^2 = AH^2 + CH^2 \):

\[ AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \]

\[ AC = \sqrt{100} = 10 \]

Ответ: 10