Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
9. В треугольнике АВС угол C равен 90°, AB = 30, sin A = √3/2. Найдите АС.
Ответ:
Краткая запись:
- Угол C = 90°
- AB = 30
- sin A = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
- Найти: AC — ?
Краткое пояснение: Для решения задачи используем тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Зная синус угла A и гипотенузу AB, можно найти катет BC. Затем, используя теорему Пифагора, найдем катет AC.
Пошаговое решение:
- Шаг 1: Определяем противолежащий катет BC. По определению синуса в прямоугольном треугольнике: \( \sin A = \frac{BC}{AB} \).
Отсюда выражаем BC: \( BC = AB \cdot \sin A \).
Подставляем значения: \( BC = 30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3} \). - Шаг 2: Находим катет AC, используя теорему Пифагора: \( AC^{2} + BC^{2} = AB^{2} \).
Выражаем \( AC^{2} \): \( AC^{2} = AB^{2} - BC^{2} \).
Подставляем значения: \( AC^{2} = 30^{2} - (15\sqrt{3})^{2} \). - Шаг 3: Вычисляем \( AC^{2} \).
\( 30^{2} = 900 \)
\( (15\sqrt{3})^{2} = 15^{2} \cdot (\sqrt{3})^{2} = 225 \cdot 3 = 675 \)
\( AC^{2} = 900 - 675 = 225 \) - Шаг 4: Находим AC, извлекая квадратный корень.
\( AC = \sqrt{225} = 15 \)
Ответ: 15
