9 В треугольнике АВС угол C равен 90°, AC = 6, cos A = 3√13 / 13. Найдите длину стороны ВС.

Краткое пояснение:

Для решения задачи будем использовать определения тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике и теорему Пифагора.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определяем, какие стороны треугольника соответствуют данному косинусу угла A. Косинус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: \( ext{cos A} = \frac{ ext{AC}}{ ext{AB}} \).
2. Шаг 2: Используя данное значение \( ext{cos A} = \frac{3\sqrt{13}}{13} \) и известное значение прилежащего катета \( ext{AC} = 6 \), найдем длину гипотенузы AB: \( \frac{6}{ ext{AB}} = \frac{3\sqrt{13}}{13} \).
3. Шаг 3: Выразим AB из уравнения: \( ext{AB} = \frac{6 \cdot 13}{3\sqrt{13}} = \frac{2 \cdot 13}{\sqrt{13}} = rac{26}{\sqrt{13}} \).
4. Шаг 4: Избавимся от иррациональности в знаменателе: \( ext{AB} = \frac{26}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}} = \frac{26\sqrt{13}}{13} = 2\sqrt{13} \).
5. Шаг 5: Теперь, зная гипотенузу \( ext{AB} = 2\sqrt{13} \) и один катет \( ext{AC} = 6 \), найдем второй катет BC, используя теорему Пифагора: \( ext{AC}^2 + ext{BC}^2 = ext{AB}^2 \).
6. Шаг 6: Подставляем известные значения: \( 6^2 + ext{BC}^2 = (2\sqrt{13})^2 \).
7. Шаг 7: Вычисляем: \( 36 + ext{BC}^2 = 4 \cdot 13 \).
8. Шаг 8: \( 36 + ext{BC}^2 = 52 \).
9. Шаг 9: \( ext{BC}^2 = 52 - 36 \).
10. Шаг 10: \( ext{BC}^2 = 16 \).
11. Шаг 11: Извлекаем квадратный корень: \( ext{BC} = \sqrt{16} = 4 \).

Ответ: 4