9 В треугольнике АВС угол C равен 90°, АС=7, cos A = 7√74 / 74. Найдите длину стороны ВС.

Решение:

• В прямоугольном треугольнике ABC (угол C = 90°), косинус угла A определяется как отношение прилежащего катета (AC) к гипотенузе (AB):
• \[ \cos A = \frac{AC}{AB} \]
• Нам дано: AC = 7 и \( \cos A = \frac{7\sqrt{74}}{74} \).
• Подставим известные значения в формулу:
• \[ \frac{7\sqrt{74}}{74} = \frac{7}{AB} \]
• Решим уравнение относительно AB:
• \[ AB \cdot \frac{7\sqrt{74}}{74} = 7 \]
• \[ AB = \frac{7 \cdot 74}{7\sqrt{74}} = \frac{74}{\sqrt{74}} \]
• Умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{74} \) для избавления от корня в знаменателе:
• \[ AB = \frac{74 \cdot \sqrt{74}}{\sqrt{74} \cdot \sqrt{74}} = \frac{74\sqrt{74}}{74} = \sqrt{74} \]
• Теперь, зная гипотенузу AB и катет AC, мы можем найти катет BC, используя теорему Пифагора: \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \).
• \[ 7^2 + BC^2 = (\sqrt{74})^2 \]
• \[ 49 + BC^2 = 74 \]
• \[ BC^2 = 74 - 49 \]
• \[ BC^2 = 25 \]
• \[ BC = \sqrt{25} = 5 \]

Ответ: 5