9. В треугольнике АВС угол C равен 90°, СH — высота, АВ = 90, $$\sin A = \frac{2}{3}$$. Найдите длину отрезка ВН.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, имеем:

• Гипотенуза $$AB = 90$$.
• $$\\sin A = \frac{2}{3}$$.

Вспомним, что $$\\sin A = \frac{BC}{AB}$$. Отсюда найдем длину катета BC:

$$BC = AB \\cdot \\sin A = 90 \\cdot \\frac{2}{3} = 30 \\cdot 2 = 60$$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CBH. В нем угол CHB равен 90°.

Угол B в треугольнике ABC равен $$90° - A$$.

В треугольнике CBH, угол C равен 90°. Угол B у нас общий для треугольников ABC и CBH.

В треугольнике CBH, мы знаем $$BC = 60$$. Нам нужно найти $$BH$$.

В прямоугольном треугольнике CBH:

$$\\cos B = \frac{BH}{BC}$$

Мы знаем, что $$B = 90° - A$$. Поэтому $$\\cos B = \\cos(90° - A) = \\sin A$$.

Значит, $$\\cos B = \\frac{2}{3}$$.

Теперь найдем $$BH$$:

$$BH = BC \\cdot \\cos B = 60 \\cdot \\frac{2}{3} = 20 \\cdot 2 = 40$$.

Ответ: 40