9. В выпуклом четырёхугольнике ABCD стороны AB, BC и CD равны, M — середина стороны AD. Известно, что угол BMC равен 90°. Найдите угол между диагоналями четырёхугольника ABCD.

Данных недостаточно, чтобы однозначно определить угол между диагоналями. Это видно на двух выпуклых четырёхугольниках.

В обоих примерах положим \(M=(0;0)\), \(A=(-1;0)\), \(D=(1;0)\), \(B=(0;1)\). Тогда M — середина AD.

Первый пример: возьмём \(C=(0; -1)\). Тогда \(AB=BC=CD=\sqrt2\), а \(BM\perp CM\). Диагонали AC и BD перпендикулярны, поэтому угол между ними равен 90°.

Второй пример: возьмём \(C=(0; -\sqrt3)\). Тогда \(AB=\sqrt2\), \(BC=2\), поэтому равенство сторон не выполняется — этот пример не подходит.

Следовательно, приведённого условия недостаточно: требуется дополнительное условие, которое однозначно задаёт положение точек.