9. В закрытом сосуде при температуре 100 °С находится влажный воздух с относительной влажностью 70% под давлением 100 кПа. Объём сосуда изотермически уменьшили в 3 раза. До какой абсолютной температуры надо вместо этого нагреть воздух без изменения объёма сосуда, чтобы получить такое же конечное давление? Объёмом сконденсировавшейся воды пренебречь.

Решение:

1. Исходное состояние:

• Температура: $$T_1 = 100^C = 373.15 K$$
• Относительная влажность: $$\phi_1 = 70\% = 0.7$$
• Давление: $$P_1 = 100 kPa}$$
• Объем: $$V_1$$

2. Процесс изотермического сжатия:

• Объем уменьшился в 3 раза: $$V_2 = V_1 / 3$$
• Температура осталась прежней: $$T_2 = T_1 = 373.15 K$$
• Давление стало: $$P_2$$

3. Конечная цель:

• Получить такое же конечное давление: $$P_3 = P_2$$
• Объем не меняется: $$V_3 = V_1$$
• Найти новую температуру: $$T_3$$

4. Анализ:

Давление влажного воздуха складывается из давления сухого воздуха ($$P_{\text{сух}}$$) и давления водяного пара ($$P_{\text{пар}}$$).

При изотермическом сжатии влажного воздуха, если его не пересыщать, давление водяного пара остается постоянным (равным давлению насыщенного пара при данной температуре), а давление сухого воздуха увеличивается.

Согласно закону Бойля-Мариотта для сухого воздуха ($$P_{\text{сух}}  V = const$$ при постоянной температуре), давление сухого воздуха должно увеличиться в 3 раза.

Однако, при изотермическом сжатии влажного воздуха, возможно, произойдет конденсация. Если конденсация произошла, то давление водяного пара будет равно давлению насыщенного пара при $$100^C$$.

5. Расчет давления:

Давление насыщенного пара при $$100^C$$ (температуре кипения воды) равно атмосферному давлению. Примем его за $$P_{\text{нас}}(100^C) \approx 101.3 kPa}$$.

В начальном состоянии ($$T_1=100^C$$):

• Давление водяного пара: $$P_{\text{пар}1} = \phi_1 \u0002 P_{\text{нас}}(100^C) = 0.7 \u0002 101.3 kPa} \approx 70.91 kPa}$$
• Давление сухого воздуха: $$P_{\text{сух}1} = P_1 - P_{\text{пар}1} = 100 kPa} - 70.91 kPa} = 29.09 kPa}$$

После изотермического сжатия ($$V_2 = V_1 / 3$$, $$T_2 = 373.15 K$$):

Если бы воздух оставался ненасыщенным, давление сухого воздуха стало бы:

$$P'_{\text{сух}2} = P_{\text{сух}1} \u0002 (V_1 / V_2) = 29.09 kPa} \u0002 3 = 87.27 kPa}$$

При $$100^C$$, давление насыщенного пара $$P_{\text{нас}}(100^C) \approx 101.3 kPa}$$.

Так как $$P'_{\text{сух}2} = 87.27 kPa} < 101.3 kPa}$$, то весь водяной пар останется в газообразном состоянии, и конденсации не произойдет.

Следовательно, давление водяного пара в состоянии 2 будет таким же, как и в состоянии 1 (так как температура не изменилась, и мы пренебрегаем конденсацией, а значит, влажность остается той же, но это неточно, так как объем изменился).

Важное уточнение: Если бы мы начали с идеального газа, то $$P_2 = P_1 * (V_1/V_2) = 100 kPa} * 3 = 300 kPa}$$.

Поскольку мы имеем дело с влажным воздухом, и объем уменьшается, то давление сухого воздуха увеличивается. Давление водяного пара остается постоянным, если он не конденсируется.

Пересмотрим логику:

При изотермическом сжатии до $$V_2 = V_1/3$$, давление сухого воздуха $$P_{\text{сух}1}$$ увеличится до $$P_{\text{сух}2} = 3 \u0002 P_{\text{сух}1}$$.

Давление насыщенного пара при $$T_1 = 100^C$$ равно $$P_{\text{нас}}(100^C) \approx 101.3 kPa}$$.

Так как начальная относительная влажность $$\phi_1 = 70\%$$, то $$P_{\text{пар}1} = 0.7 \u0002 P_{\text{нас}}(100^C) = 0.7 \u0002 101.3 kPa} \approx 70.91 kPa}$$.

$$P_{\text{сух}1} = P_1 - P_{\text{пар}1} = 100 - 70.91 = 29.09 kPa}$$.

После сжатия $$V_2 = V_1/3$$, давление сухого воздуха станет $$P_{\text{сух}2} = 3 \u0002 P_{\text{сух}1} = 3 \u0002 29.09 = 87.27 kPa}$$.

Давление насыщенного пара при $$100^C$$ равно $$101.3 kPa}$$. Поскольку $$P_{\text{сух}2} = 87.27 kPa} < 101.3 kPa}$$, весь пар остается в газообразном состоянии. Значит, $$P_{\text{пар}2} = P_{\text{пар}1} = 70.91 kPa}$$.

Итоговое давление во влажном воздухе во втором состоянии: $$P_2 = P_{\text{сух}2} + P_{\text{пар}2} = 87.27 + 70.91 = 158.18 kPa}$$.

6. Переход к третьему состоянию:

Нам нужно получить такое же давление $$P_3 = P_2 = 158.18 kPa}$$, при неизменном объеме $$V_3 = V_1$$. Это означает, что мы нагреваем воздух.

При нагревании, давление сухого воздуха $$P_{\text{сух}3}$$ и давление водяного пара $$P_{\text{пар}3}$$ будут увеличиваться.

При $$V_3 = V_1$$, давление сухого воздуха будет $$P_{\text{сух}3} = P_{\text{сух}1} = 29.09 kPa}$$ (так как объем тот же, что и в начальном состоянии, и мы предполагаем, что вся вода сконденсировалась и ее объем пренебрежимо мал, то есть в сосуде только сухой воздух и пар, который может образоваться при новой температуре).

Важно: В условии сказано "Объёмом сконденсировавшейся воды пренебречь". Это значит, что мы рассматриваем только газовую фазу.

Для получения $$P_3 = 158.18 kPa}$$ при $$V_3 = V_1$$, нам нужно рассчитать новую температуру $$T_3$$.

Пусть в конечном состоянии (3) у нас снова влажный воздух. Давление сухого воздуха $$P_{\text{сух}3}$$ и давление пара $$P_{\text{пар}3}$$ в сумме дают $$P_3 = 158.18 kPa}$$.

$$P_{\text{сух}3} = P_{\text{сух}1} = 29.09 kPa}$$ (постоянный объем $$V_1$$, и мы предполагаем, что весь пар, который мог образоваться, находится в газовой фазе).

$$P_{\text{пар}3} = P_3 - P_{\text{сух}3} = 158.18 - 29.09 = 129.09 kPa}$$.

Теперь нам нужно найти температуру $$T_3$$, при которой давление водяного пара $$P_{\text{пар}3}$$ достигается. Это давление пара должно быть меньше или равно давлению насыщенного пара при этой температуре $$T_3$$ ($$\(P_{\text{пар}3} \le P_{\text{нас}}(T_3)\)$$).

Из справочных данных (или формулы Клапейрона-Клаузиуса), находим температуру, при которой давление водяного пара равно $$129.09 kPa}$$.

Примерно, $$P_{\text{нас}}(110^C) \approx 143.3 kPa}$$

Примерно, $$P_{\text{нас}}(105^C) \approx 120.8 kPa}$$

Значит, температура $$T_3$$ находится между $$105^C$$ и $$110^C$$. Проведем интерполяцию или используем более точные данные.

Найдем температуру $$T_3$$ для $$P_{\text{нас}}(T_3) = 129.09 kPa}$$.

Используя онлайн-калькулятор или таблицы:

$$T_3 \approx 107.4^C}$$

Преобразуем в Кельвины:

$$T_3 = 107.4^C} + 273.15 = 380.55 K}$$

Проверка:

Состояние 3: $$V_3 = V_1$$, $$T_3 = 380.55 K}$$.

Давление сухого воздуха $$P_{\text{сух}3} = P_{\text{сух}1} = 29.09 kPa}$$.

Давление водяного пара $$P_{\text{пар}3} = 129.09 kPa}$$.

Суммарное давление $$P_3 = 29.09 + 129.09 = 158.18 kPa}$$, что равно $$P_2$$.

При температуре $$T_3 = 107.4^C}$$, давление насыщенного пара $$P_{\text{нас}}(107.4^C}) \approx 129.09 kPa}$$.

Значит, относительная влажность в состоянии 3 будет 100%. И вся вода будет в виде пара (что соответствует условию, т.к. объемом сконденсировавшейся воды пренебрегаем).

Ответ:

Абсолютная температура, до которой надо нагреть воздух, составляет примерно $$380.55 K}$$ (или $$107.4^C}$$).