9 ВПР. Математика. 8 класс. Углублённый уровень. Вариант 1. Часть 1 В графе 25 рёбер. Каждая вершина графа имеет или степень 6, или степень 2. Причем вершин степени 6 на 1 меньше, чем вершин степени 2. Сколько вершин в этом графе?

Задание 9. Граф

Дано:

• Количество рёбер графа: \( E = 25 \).
• Степень вершин: 6 или 2.
• Вершин степени 6 на 1 меньше, чем вершин степени 2.

Найти: количество вершин в графе.

Решение:

Обозначим количество вершин степени 2 как \( n_2 \), а количество вершин степени 6 как \( n_6 \).

По условию задачи, \( n_6 = n_2 - 1 \).

Согласно лемме о рукопожатиях (теорема о сумме степеней), удвоенное количество рёбер равно сумме степеней всех вершин:

• \( 2E = \text{сумма степеней всех вершин} \)
• \( 2E = 2 \times n_2 + 6 \times n_6 \)

Подставим известные значения:

• \( 2 \times 25 = 2n_2 + 6n_6 \)
• \( 50 = 2n_2 + 6n_6 \)

Теперь подставим \( n_6 = n_2 - 1 \) в уравнение:

• \( 50 = 2n_2 + 6(n_2 - 1) \)
• \( 50 = 2n_2 + 6n_2 - 6 \)
• \( 50 = 8n_2 - 6 \)
• \( 50 + 6 = 8n_2 \)
• \( 56 = 8n_2 \)
• \( n_2 = \frac{56}{8} = 7 \)

Найдём \( n_6 \):

• \( n_6 = n_2 - 1 = 7 - 1 = 6 \)

Общее количество вершин в графе равно сумме вершин степени 2 и степени 6:

• \( N = n_2 + n_6 \)
• \( N = 7 + 6 = 13 \)

Ответ: 13