9) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = -4 + x^2; y = 0

Решение:

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = -4 + x^2 \) и \( y = 0 \), сначала найдём точки пересечения этих линий. Приравняем правые части уравнений:

\( -4 + x^2 = 0 \)

\( x^2 = 4 \)

\( x = ± 2 \)

Таким образом, точки пересечения имеют координаты \( (-2, 0) \) и \( (2, 0) \).

Площадь фигуры можно вычислить с помощью определенного интеграла:

\[ S = \int_{-2}^{2} (0 - (-4 + x^2)) dx \]

\[ S = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) dx \]

Проинтегрируем функцию:

\[ S = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2} \]

Подставим пределы интегрирования:

\[ S = \left( 4(2) - \frac{2^3}{3} \right) - \left( 4(-2) - \frac{(-2)^3}{3} \right) \]

\[ S = \left( 8 - \frac{8}{3} \right) - \left( -8 - \frac{-8}{3} \right) \]

\[ S = \left( 8 - \frac{8}{3} \right) - \left( -8 + \frac{8}{3} \right) \]

\[ S = 8 - \frac{8}{3} + 8 - \frac{8}{3} \]

\[ S = 16 - \frac{16}{3} \]

\[ S = \frac{48 - 16}{3} \]

\[ S = \frac{32}{3} \]

Ответ: Площадь фигуры равна \( \frac{32}{3} \).