9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями: y=sinx y=0 x=0 x=π

Решение:

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = \sin x \), \( y = 0 \), \( x = 0 \) и \( x = \pi \), нужно вычислить определённый интеграл от функции \( y = \sin x \) в пределах от \( 0 \) до \( \pi \).

Площадь \( S \) вычисляется по формуле:

\[ S = \int_{a}^{b} f(x) dx \]

В данном случае \( f(x) = \sin x \), \( a = 0 \) и \( b = \pi \).

\[ S = \int_{0}^{\pi} \sin x dx \]

Первообразная для \( \sin x \) — это \( - \cos x \).

\[ S = [- \cos x]_{0}^{\pi} \]

Теперь подставим пределы интегрирования:

\[ S = (- \cos \pi) - (- \cos 0) \]

Вычислим значения косинуса:

• \( \cos \pi = -1 \)
• \( \cos 0 = 1 \)

Подставим эти значения обратно:

\[ S = (-(-1)) - (-1) \]\[ S = 1 - (-1) \]\[ S = 1 + 1 \]\[ S = 2 \]

Ответ: Площадь фигуры равна 2.