№ 9. Вычислите площадь полной поверхности и объем конуса, если его высота равна 2 см, а угол при вершине осевого сечения равен 90°.

Решение:

Дано:

• Высота конуса \( h = 2 \) см.
• Угол при вершине осевого сечения \( \alpha = 90° \).

Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник. Угол при вершине этого треугольника равен \( 90° \).

Рассмотрим половину осевого сечения — прямоугольный треугольник с катетами \( r \) (радиус основания) и \( h \) (высота). Угол между образующей \( l \) и высотой \( h \) равен \( \frac{\alpha}{2} = \frac{90°}{2} = 45° \).

1. Найдем радиус основания конуса \( r \):

В прямоугольном треугольнике \( \text{tg}(\frac{\alpha}{2}) = \frac{r}{h} \).

$$ r = h \cdot \text{tg}(45°) = 2 \text{ см} 1 = 2 \text{ см} $$

2. Найдем образующую конуса \( l \) по теореме Пифагора:

$$ l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{(2 \text{ см})^2 + (2 \text{ см})^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \text{ см} $$

3. Вычислим площадь полной поверхности конуса \( S \):

$$ S = \pi r(r + l) = \pi \cdot 2 \text{ см} (2 \text{ см} + 2\sqrt{2} \text{ см}) = 4\pi (1 + \sqrt{2}) \text{ см}^2 $$

4. Вычислим объем конуса \( V \):

$$ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (2 \text{ см})^2 (2 \text{ см}) = \frac{1}{3} \pi \cdot 4 2 = \frac{8\pi}{3} \text{ см}^3 $$

Ответ: Площадь полной поверхности равна \( 4\pi (1 + \sqrt{2}) \) см², объем конуса равен \( \frac{8\pi}{3} \) см³.