9. Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t) = 1,6 + 12t - 5t² где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте более 8 метров?

Решение:

Чтобы найти время, в течение которого мяч будет находиться на высоте более 8 метров, нужно решить неравенство:

\( h(t) > 8 \)

\( 1,6 + 12t - 5t^2 > 8 \)

Перенесём все члены в одну сторону:

\( -5t^2 + 12t + 1,6 - 8 > 0 \)

\( -5t^2 + 12t - 6,4 > 0 \)

Умножим на -1 и сменим знак неравенства:

\( 5t^2 - 12t + 6,4 < 0 \)

Теперь найдём корни соответствующего квадратного уравнения \( 5t^2 - 12t + 6,4 = 0 \).

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac \):

\[ D = (-12)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 6,4 = 144 - 128 = 16 \]

Так как \( D > 0 \), у уравнения есть два корня:

\[ t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{12 - 4}{10} = \frac{8}{10} = 0,8 \text{ с} \]

\[ t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{12 + 4}{10} = \frac{16}{10} = 1,6 \text{ с} \]

Парабола \( y = 5t^2 - 12t + 6,4 \) направлена ветвями вверх, поэтому неравенство \( 5t^2 - 12t + 6,4 < 0 \) выполняется при \( t \) между корнями, то есть \( 0,8 < t < 1,6 \).

Время, в течение которого мяч находится на высоте более 8 метров, равно разности этих времён:

\[ \Delta t = t_2 - t_1 = 1,6 - 0,8 = 0,8 \text{ с} \]

Ответ: 0,8 секунд.