9/x + 1/2 = 10/(x-1)

Решение:

Приведём уравнение к общему знаменателю. Для этого умножим обе части уравнения на \( 2x(x-1) \), учитывая, что \( x \neq 0 \) и \( x \neq 1 \).

\( 2x(x-1) \left( \frac{9}{x} + \frac{1}{2} \right) = 2x(x-1) \left( \frac{10}{x-1} \right) \)

\( 2(x-1) \cdot 9 + x(x-1) | \cdot 1 = 2x | \cdot 10 \)

\( 18(x-1) + x(x-1) = 20x \)

\( 18x - 18 + x^2 - x = 20x \)

\( x^2 + 17x - 18 = 20x \)

\( x^2 + 17x - 20x - 18 = 0 \)

\( x^2 - 3x - 18 = 0 \)

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{81} = 9 \)

Найдём корни:

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6 \)

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 9}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \)

Оба корня \( x=6 \) и \( x=-3 \) не равны \( 0 \) и \( 1 \), поэтому оба подходят.

Ответ: x = 6, x = -3.