9) y = (1/x + 8) · (5x-

Задание 9

Найдем производную функции \( y = (\frac{1}{x} + 8) · (5x-X) \). Предполагаем, что вторая скобка была \( (5x - K) \) для некоторой константы K, так как в задании она неполная. Если это была ошибка, то исправьте.

Для начала преобразуем первую скобку: \( \frac{1}{x} = x^{-1} \). Функция теперь: \( y = (x^{-1} + 8) · (5x - K) \).

Применим правило умножения: \( (u · v)' = u' · v + u · v' \).

Пусть \( u = x^{-1} + 8 \) и \( v = 5x - K \).

Найдем производные \( u \) и \( v \):

• \( u' = (x^{-1} + 8)' = -1 · x^{-1-1} + 0 = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2} \)
• \( v' = (5x - K)' = 5 - 0 = 5 \)

Подставим в формулу:

\[ y' = (-\frac{1}{x^2}) · (5x - K) + (x^{-1} + 8) · 5 \]

Раскроем скобки:

\[ y' = -\frac{5x}{x^2} + \frac{K}{x^2} + 5x^{-1} + 40 \]

\[ y' = -\frac{5}{x} + \frac{K}{x^2} + \frac{5}{x} + 40 \]

Упростим, заметим, что \( -\frac{5}{x} \) и \( \frac{5}{x} \) взаимно уничтожаются:

\[ y' = \frac{K}{x^2} + 40 \]

Ответ: \( y' = \frac{K}{x^2} + 40 \).