9)y = √x(4x-4)

Решение:

Для нахождения производной функции \( y = \sqrt{x}(4x-4) \) используем правило умножения и правило дифференцирования степенной функции.

1. Представим \( \sqrt{x} \) как \( x^{\frac{1}{2}} \).
2. Применим правило умножения: \( (uv)' = u'v + uv' \), где \( u = x^{\frac{1}{2}} \) и \( v = 4x-4 \).
3. Найдем производную \( u' \): \( u' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \).
4. Найдем производную \( v' \): \( v' = 4 \).
5. Подставим в формулу производной: \[ y' = \left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)(4x-4) + (\sqrt{x})(4) \]
6. Упростим выражение: \[ y' = \frac{4x-4}{2\sqrt{x}} + 4\sqrt{x} \] \[ y' = \frac{2(2x-2)}{2\sqrt{x}} + 4\sqrt{x} \] \[ y' = \frac{2x-2}{\sqrt{x}} + 4\sqrt{x} \]
7. Приведем к общему знаменателю: \[ y' = \frac{2x-2 + 4\sqrt{x}\sqrt{x}}{\sqrt{x}} \] \[ y' = \frac{2x-2 + 4x}{\sqrt{x}} \] \[ y' = \frac{6x-2}{\sqrt{x}} \]

Ответ: \( y' = \frac{6x-2}{\sqrt{x}} \).