9. Задача. ABCD — ромб. O — точка пересечения его диагоналей, M — точка пространства, не лежащая в плоскости ромба. Точки A, D, O лежат в плоскости α. Дайте ответы на поставленные вопросы с необходимыми обоснованиями: а) Лежат ли в плоскости α точки B и C? б) Лежит ли в плоскости MOB точка D? в) Назовите линию пересечения плоскостей MOB и ADO. г) Вычислите площадь ромба, если его сторона равна 4 см, а угол равен 60°.

1. а) Да. Диагональ BD проходит через точки D и O, лежащие в плоскости α, поэтому вся BD лежит в α и точка B принадлежит α. Диагональ AC проходит через A и O, значит, она также лежит в α и точка C принадлежит α.
2. б) Да. Точки O и B принадлежат плоскости MOB, следовательно, прямая OB лежит в этой плоскости. Поскольку O, B и D лежат на диагонали BD ромба, точка D тоже принадлежит плоскости MOB.
3. в) Плоскости MOB и ADO пересекаются по прямой BD: обе содержат точки B и D. Плоскости различны, поскольку M не лежит в плоскости ромба ADO.
4. г) Площадь ромба равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними: \(S=a^2\sin 60^\circ\). Подставим данные: \(S=4^2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}\) см².

Ответ: а) B и C лежат в α; б) D лежит в плоскости MOB; в) BD; г) \(8\sqrt{3}\) см².