9. «Задача от банкира». В одном из заданий на конкурсе бухгалтеров требуется выдать премии сотрудникам некоторого отдела на общую сумму 600 000 рублей (размер премии каждого сотрудника — целое число, кратное 1000). Бухгалтеру дают распределение премий, и он должен их выдать без сдачи и размена, имея 100 купюр по 1000 рублей и 100 купюр по 5000 рублей. Удастся ли выполнить задание, если в отделе 40 сотрудников и все должны получить поровну?

Найдём премию каждого сотрудника: 600 000 : 40 = 15 000 рублей.

Эту сумму можно выдать без сдачи и размена: каждому дать по 3 купюры по 5000 рублей. Всего потребуется 40 · 3 = 120 купюр по 5000 рублей, но у бухгалтера есть только 100 таких купюр.

Можно выдать часть суммы купюрами по 1000 рублей, однако всего у бухгалтера имеется 100 купюр по 1000 рублей. Для 40 сотрудников при премии 15 000 рублей каждому необходимо выдать в сумме 600 купюр номиналом 1000 рублей, если использовать только их, или сочетать купюры. Пусть для каждого используется целое число купюр по 5000 рублей; сумма оставшейся части должна быть кратна 1000.

Обозначим через x число купюр по 5000 рублей, а через y — число купюр по 1000 рублей. Нужно, чтобы 5x + y = 600, при этом x ≤ 100 и y ≤ 100. Из ограничений следует 5x ≥ 500, значит, x ≥ 100. Тогда x = 100 и y = 100.

Этих купюр достаточно: на каждого сотрудника в среднем приходится 2,5 купюры по 5000 рублей и 2,5 купюры по 1000 рублей. Но каждому нужно выдать ровно 15 000 рублей, а такую сумму нельзя составить из купюр номиналом 5000 и 1000, поскольку 15 000 = 3 · 5000. Значит, потребовалось бы 120 купюр по 5000 рублей.

Ответ: нет, выполнить задание нельзя.